|
|
|
x2 − 4 x3 |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
x3 ( |
1 |
|
− 4) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
х |
= 4 . |
|
|
|||||||||||
2). |
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
x→∞ x |
|
+3 x − x |
|
|
|
∞ |
|
x→∞ x |
|
( |
|
+ |
|
−1) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
х |
х2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3). |
lim |
4 − x − 4 + x |
|
0 |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
− 2 x |
= − |
1 |
. |
||||||
|
|
2 x |
|
|
= |
|
2 |
x( 4 − x + |
4 |
||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x→0 |
4 + x) |
|
||||||||||||
1.10. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б)
Определение 1. Пусть α(x) и β(x) ― б.м. в точке x0 , тогда
1). Если lim |
α(x) |
= 0 , то α(x) называется б.м. более высокого порядка относительно |
x→x0 |
β(x) |
|
β(x) .Обозначение: α(x) = о(β(x)) .
2). Если |
lim |
α(x) |
= C , где C ≠ 0,C ≠ ∞, то α(x) и β(x) называется б.м. одинакового порядка. |
||||||
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
3). Если |
lim |
α(x) |
не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми. |
|
|
||||
|
x→x0 |
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Сравнить α(x) = x2 −1 и β(x) = x −1 в точке x =1. |
|
|
|||||||
Решение. Так как lim |
x2 −1 |
= lim(x +1) = 2 α(x) и β(x) одного порядка. |
|
|
|||||
x −1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x→1 |
x→1 |
|
α(x) |
||
Определение 2. |
Две б.м. функции называются эквивалентными при x → x0 |
, если lim |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
β(x) |
Обозначается : α(x) |
~ |
β(x) . |
|
|
|
||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
||
б.м.
=1.
Примеры. 1) sin x |
~ |
x , так как |
|
lim |
sin x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
tg x |
~ x , так как |
|
tg x |
|
|
|
|
|
sin x |
|
1 |
|
|
|
|
= lim |
|
sin x |
lim |
|
|
|
1 |
|
|
|
=1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2) |
lim |
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
cos x |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 −cos x |
|
|
|
|
2 |
sin 2 ( |
x |
) |
|
|
|
sin 2 |
( |
x |
) |
sin( |
x |
) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3) 1 −cos x |
~ |
|
|
, так как |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= lim |
|
2 |
|
|
=1. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 2 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
4) |
arcsin x |
~ x , так как |
lim |
arcsin x |
= lim |
|
y |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
y→0 sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5) |
arctg x |
~ x , так |
как |
|
lim |
arctg x |
|
= lim |
y |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
y→0 tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства эквивалентных б.м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 1. Сумма функций, б.м. в точке x0 , разного порядка эквивалентна б.м. меньшего порядка. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть β(x) |
- б.м. в точке x0 более высокого порядка, чем α(x) . Рассмотрим γ(x) = α(x) +β(x) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
γ(x) |
|
|
|
|
α(x) +β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдём |
lim |
= |
lim |
|
= lim 1 |
+ |
|
|
=1 + 0 =1, то есть α(x) +β(x) |
~ α(x) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→x0 α(x) |
|
|
x→x0 α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Теорема 2. Предел |
отношения |
|
двух |
б.м. |
функций в |
|
точке |
x0 |
|
не |
|
|
изменится, |
если |
числитель и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменатель заменить на эквивалентные им б.м. функции. Иначе:
если α(x) ~ α1 (x) и β(x) ~ β1 (x) , x → x0 |
, то lim |
α(x) |
= |
lim |
α1 (x) |
|
β(x) |
β1 (x) |
|||||
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|||
12 |
|
|
|
|
|