n

, n

1− 2−1

− 2

1 .

cos α =

1

2

=

=

= −

n1

n2

1+ 2 +1

1+ 2+1

4

2

Следовательно, угол α =120o .

Ответ: 120o .

Задача 5

При каких

значениях

l

и

m

заданные

плоскости

mx + 3y − 2z −1= 0 ,

2x −5y −lz −1= 0 параллельны?

Решение

m

2

Нормальные

векторы

заданных

плоскостей

n1 =

3

, n2

=

−5

. Из условия

− 2

−l

параллельности следует:

m

=

3

=

− 2

. Тогда

m = −

6

и

l = −

10 .

2

−5

−l

5

3

Ответ: m = − 6 ,

l = −10 .

5

3

n

M 3

M 2

M1

Рис. 5.

Из

рисунка

5

ясно,

что

нормальный вектор

плоскости

- это

вектор

3

− 2

1M 2 , M1M

− 3 и M1M 3 = − 7

,

n = M

3 . Вычислим координаты векторов M1M 2 =

5

−1

а также их векторное произведение

i

j

k

1M 2 , M

3

−3

−1

= −22i −13 j − 27k .

M

1M 3 =

− 2

−7

5

22

13

Следовательно,

в качестве нормального

вектора можно взять

вектор n =

.

27

Подставив его координаты, а также координаты любой из точек,

например

М1

в

уравнение плоскости с нормальным вектором, получим

22(x −1)+13( y − 2)+ 27(z + 3)= 0 , или 22x +13y + 27z + 33 = 0.

Ответ:

22x +13y + 27z + 33 = 0.

Решение

Для искомой плоскости известны координаты точки, лежащей

на плоскости,

это

O (0, 0, 0) или M (1,1,1).

Поскольку векторы i и

OM ,

коллинеарны плоскости,

то

n = [OM ,i]=

i

j

k

0

1

1

1

1

нормальный

вектор

= 0i + j − k =

, а

тогда,

подставляя

1

0

0

−1

координаты

точки

O

и

координаты

вектора

n

в

уравнение