- •3. Аналитическая геометрия (14 часов).
- •1. Плоскость и прямая в пространстве
- •1.1. Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости
- •Определение 1
- •Задача
- •Решение
- •Теорема 1
- •Доказательство
- •Уравнение плоскости с нормальным вектором
- •Теорема
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задача 4
- •Решение
- •Задача 5
- •Решение
- •1.3. Плоскость, заданная точкой и двумя коллинеарными векторами
- •Теорема
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •1.4. Уравнение плоскости в отрезках
- •Теорема
- •Доказательство
- •Задача
- •Решение
- •1.5. Исследование общего уравнения плоскости.
- •Определение
- •Задача
- •Решение
- •1.6. Линии в пространстве. Общие уравнения прямой
- •Теорема 1
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Теорема 2
- •1.7. Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых
- •Параметрические уравнения прямой
- •Канонические уравнения прямой
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Угол между прямыми
- •Условие перпендикулярности прямых
- •Условие параллельности прямых
- •Условия пересечения прямых в пространстве
- •Задача 3
- •Решение
- •Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
- •Задача 4
- •Решение
- •1.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •Угол между прямой и плоскостью
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
- •Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
- •Задача 1
- •Решение
- •Точка пересечения прямой и плоскости
- •Задача 2
- •Решение
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.2. Линии на плоскости. Прямая на плоскости
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой с нормальным вектором
- •Каноническое уравнение прямой
- •Уравнение прямой в «отрезках»
- •Угол между прямыми
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •2.3. Кривые второго порядка
- •Общее уравнение кривой второго порядка
- •Важные случаи общего уравнения кривой второго порядка
- •Уравнение эллипса
- •Уравнение гиперболы
- •Уравнение параболы
- •Уравнение пары пересекающихся прямых
- •Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
- •Уравнение, определяющее точку
- •Эллипс
- •Теорема
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Гипербола
- •Теорема
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой.
- •Определение
- •Теорема
- •Доказательство
- •Парабола
- •Теорема
- •Доказательство
- •Исследование формы кривой
- •Задача 4
- •Решение
- •Преобразование координат на плоскости. Построение кривых заданных общим уравнением
- •Уравнение эллипса с центром симметрии в точке
- •Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке
- •Уравнение параболы с вершиной в точке
- •Задача
- •Решение
- •2.4. Кривые в полярной системе координат
- •Задача 1
- •Решение
- •Задача 2
- •Решение
- •Задача 3
- •Решение
- •Задача 4
- •Решение
- •3. Поверхности второго порядка
- •Определение
- •Эллипсоид
- •Однополостный гиперболоид
- •Двуполостный гиперболоид
- •Эллиптический параболоид
- •Гиперболический параболоид
- •Конус второго порядка.
- •Цилиндры второго порядка
- •Определение
- •Эллиптический цилиндр
- •Гиперболический и параболический цилиндры
- •3. Аналитическая геометрия (14 часов)
- •Основная
- •Дополнительная
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
Кафедра математики
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева
Тема 3. Аналитическая геометрия
Компендиум по дисциплине «Математика»
Санкт-Петербург
2005
ББК 22.151.5
УДК 516
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева. Математика. Тема 3. Аналитическая геометрия. Учеб. Пособие. СПб.: Изд. Центр СПбГМТУ, 2005. с. 54.
Ил. 45 . Табл. 26 . Библиогр.: 4 назв.
Настоящее издание адресовано студентам инженерных специальностей для организации их самостоятельной работы. Учебное пособие разработано в виде компендиума по изучаемой дисциплине. Оно содержит тематический план, выписки из календарных планов лекций и практических занятий по теме «Аналитическая геометрия», теоретический материал по этой теме, контрольные вопросы по теории и вопросы для подготовки к экзамену, а также список рекомендуемой литературы. Для самоконтроля полученных знаний в пособие введен тест, в котором представлены тестовые задания с выбором ответа, сформулированные на основе требуемого набора знаний и умений по изучаемой теме. В конце пособия дан список рекомендуемой литературы и ответы к тесту.
Работа выполнена по заказу и при поддержке факультета целевой и контрактной подготовки специалистов СПбГМТУ.
Е.С.Баранова, Н.В.Васильева
Тема 3. Аналитическая геометрия
Компендиум по дисциплине «Математика»
Редактор Н.Н. Катрушенко
ISBN
© СПбГМТУ, 2005
СОДЕРЖАНИЕ КОМПЕНДИУМА
1.Тематический план 1 –го семестра.
2.Выписка из календарного плана лекций.
3.Теоретический материал.
4.Контрольные вопросы по теории.
5.Вопросы для подготовки к экзамену.
6.Выписка из календарного плана практических занятий.
7.Тест по теме 3. «Аналитическая геометрия».
8.Рекомендуемая литература.
9.Ответы к тесту.
3
|
|
1. |
ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН 1 - го СЕМЕСТРА |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1. Тематический план |
|
|
|
|
|
|
|
|
Распределение часов |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторные занятия |
|
|||
№ темы |
Название темы |
|
|
|
|
|
|
|
|
Самостоятельная |
|
|
Всего |
Всего |
|
|
Из них |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
работа |
||
|
|
|
|
|
аудиторных |
|
Лекции |
|
Практические |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
занятия |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Элементы линейной алгебры. |
|
50 |
28 |
|
14 |
|
14 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Векторная алгебра. |
|
|
18 |
8 |
|
4 |
|
4 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Аналитическая геометрия. |
|
|
48 |
28 |
|
14 |
|
14 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Теория пределов. |
|
|
48 |
28 |
|
14 |
|
14 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Дифференциальное |
исчисление |
26 |
16 |
|
8 |
|
8 |
10 |
|
функций одной переменной. Часть 1. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Всего за 1 семестр |
|
|
190 |
108 |
|
54 |
|
54 |
82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ЛЕКЦИЙ
3.Аналитическая геометрия (14 часов).
10.Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости с нормальным вектором. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, заданной точкой и двумя коллинеарными векторами (2 часа).
11.Уравнение плоскости в отрезках. Исследование общего уравнения плоскости. Уравнения координатных плоскостей. Линии в пространстве. Общие уравнения прямой. Канонические и параметрические уравнения прямой (2 часа).
12.Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Точка пересечения прямой и плоскости (2 часа).
13.Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости. Кривые второго порядка, общее уравнение. Эллипс: определение, вывод канонического уравнения, форма кривой, фокусы и эксцентриситет (2 часа).
14.Гипербола: определение, вывод канонического уравнения, форма кривой, уравнения асимптот, фокусы и эксцентриситет. Парабола: определение, вывод канонического уравнения, форма кривой, фокус и уравнение директрисы (2 часа).
15.Полярная система координат. Построение кривых в полярной системе координат
икривых, заданных параметрическими уравнениями. (2 часа).
16.Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Гиперболоиды (однополостный и двуполостный). Параболоиды (эллиптический и гиперболический). Коническая поверхность. Цилиндрические поверхности (2 часа).
3.ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
Таблица 2. Оглавление
1.Плоскость и прямая в пространстве.
1.1.Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости.
1.2.Плоскость, заданная точкой и нормальным вектором. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей..
1.3.Плоскость, заданная точкой и двумя коллинеарными векторами.
1.4.Уравнение плоскости в отрезках.
1.5.Исследование общего уравнения плоскости.
1.6.Линии в пространстве. Общие уравнения прямой.
1.7.Параметрические и канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых.
1.8.Взаимное расположение прямой и плоскости.
2.Аналитическая геометрия на плоскости.
2.1.Геометрическое изображение векторов из пространства R2 . Прямоугольная декартова система координат на плоскости.
2.2.Линии на плоскости. Прямая на плоскости.
2.3.Кривые второго порядка.
2.4.Кривые в полярной системе координат.
3.Поверхности второго порядка.
1.Плоскость и прямая в пространстве
1.1.Поверхности в пространстве и их уравнения. Уравнение плоскости
Введем в пространстве прямоугольную декартову систему координат x, y, z с
началом в некоторой точке O . Произвольную точку M в этой системе координат будем
x |
|
|
|
задавать ее координатами M (x , y , z ). Вектор a = y изображать направленным |
|
|
|
z
отрезком OM , начало которого может быть перенесено в любую точку пространства
(рис.1).
z
z M
O |
y |
|
y |
||
|
||
x |
|
|
x |
|
|
Рис.1. |
|
Определение 1
Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то алгебраическое уравнение f (x, y,z)= 0 называется уравнением поверхности Φ в этой
системе координат, если: |
|
1. |
Координаты любой точки M (x 0, y0 , z 0 )Φ связаны уравнением f (x 0, y0 , z0 )= 0 . |
2. |
Для любого решения (x0 , y0 , z0 ) уравнения f (x, y,z)= 0 справедливо |
M 0 (x0 , y0 , z0 ) Φ (рис. 2).
z
Φ
M 0
x
Рис. 2.
ЗАМЕЧАНИЕ
Иначе говоря, уравнение поверхности связывает координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой поверхности.
В дальнейшем будет дана классификация основных поверхностей, а в данном разделе мы покажем, как получить уравнение поверхности, если задано общее геометрическое свойство ее точек.
Задача
Написать алгебраическое уравнение множества точек, расположенных на расстоянии r от заданной точки M 0 (x0 , y0 , z0 ).
Решение
Из элементарной геометрии известно, что множество точек с таким геометрическим свойством образует сферу (поверхность шара) с центром в точке M 0 и радиусом r .
Покажем, что ее уравнение имеет вид (x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = r 2 . 6
|
|
Пусть |
точка |
M (x, y,z) |
принадлежит |
|
данной |
|
сфере. |
|
Рассмотрим |
|
вектор |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
M = |
x − x0 |
|
|
|
M |
|
M |
|
= r |
|
|
|
|
M |
|
M |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
y − y |
0 |
. |
Так |
как |
0 |
|
|
и |
|
0 |
|
|
= r 2 , |
|
то |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
z − z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = r 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Если же точка M (x, y,z) не принадлежит сфере, то |
|
M 0M |
|
> r или |
|
|
M 0M |
|
< r , и, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, ее координаты x, y, z не удовлетворяют этому уравнению.
Теорема 1
Линейное уравнение с тремя переменными пространстве плоскость.
Доказательство
Ax + By +Cz + D = 0 задает в
|
|
|
A |
1. Пусть задана точка M 0 |
(x0, y0 |
|
|
,z0 ), принадлежащая плоскости, и вектор n = B , |
|||
|
|
|
|
|
|
C |
перпендикулярный плоскости. Ясно, что через данную точку перпендикулярно данному вектору можно провести только одну плоскость (рис.3).
n
M
M 0
Рис. 3
|
x − x |
0 |
|
Если точка M (x, y,z) |
|
|
|
принадлежит искомой плоскости, то вектор M0 M = y − y0 |
|
||
|
|
|
|
|
z − z0 |
|
коллинеарен этой плоскости и ортогонален вектору n . Из ортогональности векторов
следует (M 0 M , n)= 0 . |
Выразив |
скалярное произведение через |
координаты |
перемножаемых векторов, |
получим |
A(x − x0 )+ Β(y − y0 )+C(z − z0 )= 0. |
В последнем |
уравнении раскроем скобки и обозначим |
D = −A x0 − B y0 −C z0 . Получим уравнение |
|||
A x + B y +C z + D = 0. |
Это |
линейное |
уравнение, причем |
коэффициенты при |
переменных x, y, z - координаты нормального вектора n . |
|
|||
2. Пусть (x0 , y0 , z0 ) - какое-то решение уравнения |
|
|||
A x + B y +C z + D = 0. |
(1) |
|||
Это означает, что справедливо |
|
|
||
A x0 |
+ B y0 |
+C z0 + D = 0. |
(2) |
|
|
|
|
7 |
|
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим
A x − A x0 + B y − B y0 +C z −C z0 = 0, или A(x − x0 )+ Β(y − y0 )+C(z − z0 )= 0.
Получили уравнение, которое, является уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 (x0, y0,z0 )и перпендикулярной вектору n .
1.2. Плоскость, заданная точкой и нормальным вектором. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности
плоскостей.
Уравнение плоскости с нормальным вектором
Уравнение
A(x − x0 )+ Β(y − y0 )+C(z − z0 )= 0,
где x0 , y0 , z0 - координаты любой точки, принадлежащей плоскости, A, B,C -
координаты любого вектора n , перпендикулярного плоскости, называется уравнением
плоскости с нормальным вектором. Вектор n называется нормальным вектором.
Теорема |
|
|
|
|
|
|
Если |
две плоскости |
заданы уравнениями A1 x + B 1 y +C 1 z + D1 |
= 0 |
и |
||
|
|
|
|
A1 |
|
|
A2 x + B 2 |
y + C 2 z + D2 = 0 , |
то заданы их нормальные векторы n1 |
|
|
|
|
= B1 |
|
и |
||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
A2 n2 = B2 .
C2
Угол α между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Тогда для косинуса этого угла справедлива формула:
|
|
n , n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 |
+ C1C2 |
|
|||
cos α = |
|
1 |
2 |
= |
. |
||||
n1 |
n2 |
A12 + B12 + C12 |
A22 + B22 + C22 |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности плоскостей имеет вид:
n |
|
n |
2 |
, или |
A1 |
= |
B1 |
= |
C1 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
|
A2 |
|
B2 |
|
C2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
Условие перпендикулярности плоскостей определяется из соотношения:
n1 , n2 = 0, или A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 .
Задача 1
Какие из заданных точек A(2,−2,−1), B (1, 0,−2), C (−1,−1, 4), D (4,5, 0) принадлежат плоскости, заданной уравнением x − y +5z +1= 0?
Решение
Чтобы выяснить, лежит ли точка в плоскости, надо в уравнение плоскости подставить ее координаты. Поскольку
8