1.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
|
x = x0 |
+ mt |
|
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями |
y = y0 |
+ nt , |
а плоскость |
|
z = z0 |
+ p t |
|
уравнением A x + B y +C z + D = 0. |
|
|
|
Угол между прямой и плоскостью |
|
|
|
Из рисунка 11 ясно, что для угла ϕ между прямой |
и плоскостью |
справедлива |
|
формула: |
|
|
|
sin ϕ = cos α = |
(n, s) = |
|
Am + B n +Cp |
. |
|
n |
s |
|
A2 + B2 +C 2 m2 + n2 + p2 |
||
|
|
|
|||
|
|
|
n |
s |
|
|
|
|
|
|
|
αϕ
|
|
|
|
Рис. 11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие параллельности прямой и плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Am + B n +C p = 0. |
|||||||||||
n s , или n , s = 0, или |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Условие перпендикулярности прямой и плоскости. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
|
|
s , или |
A |
B |
|
|
C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
m |
n |
|
p |
|
|
|
|||||||
Задача 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку M 0 (−1, 2,−3) и |
||
Напишите уравнение плоскости, проходящей |
через |
|||||||||||||||
перпендикулярной прямой, заданной уравнениями |
|
x |
= |
y + 2 |
= |
z + 2 |
. |
|||||||||
|
−5 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−3 |
|||||
Решение
−5
Из рисунка 12 видно, что направляющий вектор прямой s = 2 перпендикулярен
−3
плоскости, и его можно взять в качестве ее нормального вектора.
20
s
M0
|
|
|
Рис. 12. |
|
|
|
Подставляя |
в |
уравнение |
плоскости |
с |
нормальным |
вектором |
A(x − x0 )+ Β(y − y0 )+C(z − z0 )= 0 |
координаты точки |
M 0 |
и координаты вектора s , |
|||
получим
−5(x +1)+ 2( y − 2)− 3(z + 3)= 0, или −5x + 2y −3z −18 = 0. Ответ: −5x + 2y −3z −18 = 0.
Точка пересечения прямой и плоскости
Точка пересечения прямой и плоскости находится из решения системы
|
x |
= x |
+ mt |
|
x = x0 |
+ mt |
|
|
|
|
|||||
|
y |
0 |
+ nt |
|
|
|
|
|
|||||||
|
= y0 |
|
|
|
+ nt |
- параметрические уравнения |
прямой, |
||||||||
|
z |
= z0 |
+ pt |
|
, где y = y0 |
||||||||||
|
|
z = z0 |
+ pt |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x + B y +C z + D = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ax + By +Cz + D = 0 - уравнение плоскости. |
|
|
|
|
|||||||||||
Задача 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 (−1; − 2; 2,5) относительно |
|
|||
Найдите |
точку, |
симметричную |
точке |
прямой, |
|||||||||||
заданной каноническими уравнениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x − 4 |
= |
|
y |
|
= |
z + 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка M , симметричная точке |
M 0 |
относительно заданной прямой l , |
лежит на |
||||||||||||
прямой |
M 0M , перпендикулярной прямой l . При этом точка пересечения прямых O |
||||||||||||||
делит отрезок M 0M пополам (рис.13).
Если провести через точку M 0 плоскость α, перпендикулярную прямой l , то прямая
M 0M будет лежать в этой плоскости. Для плоскости α нормальным вектором является
|
1 |
|
|
2 |
|
направляющий вектор прямой l , то есть вектор s = |
. Уравнение плоскости α: |
|
|
− 2 |
|
|
|
1(x +1)+ 2(y + 2)− 2(z − 2,5)= 0 , x + 2y − 2z +10 = 0.
21