Исследование формы кривой.

При

x = 0 получим

уравнение

−

y2

=1,

которое

не имеет вещественных

корней.

b2

Следовательно, кривая не пересекает ось Oy . При

y = 0 получим уравнение

x2

=1,

a2

корни которого

x = ±a . Следовательно, кривая пересекает ось Ox в точках A1(a, 0) и

A2 (− a, 0). Эти точки называются вершинами гиперболы.

Числа a и b называются полуосями гиперболы,

a - действительной полуосью, а b

- мнимой полуосью.

Для части гиперболы, находящейся в первой четверти, явное уравнение имеет вид

y = b

x2 − a2

, (a ≤ x < ∞),

a

из

которого

видно,

что y

принимает

x

≥ a .

вещественные значения при

уравнения можно видеть, что при возрастании

x

на полуинтервале [a,+∞)

ордината y

возрастает и стремится к бесконечности.

Определение

y = f (x) при

Прямая y = kx +b является асимптотой кривой,

заданной уравнением

x → +∞ (x → −∞), если

lim [f (x) − kx −b]= 0 или

lim [f (x) − kx −b]= 0 .

x→+∞

x→−∞

Теорема

Прямые y == ±

b

x являются асимптотами гиперболы.

a

Доказательство

Для части гиперболы в первой четверти,

определяемой равенством y = b

x2 − a2 и

b

a

прямой y =

x :

a

b

x

=

lim

b

x2 − a2 − x

=

lim

2 − a2 − bxa

x→∞ a

x→∞ a

b x2

− x2 − a

2

=

lim

b

− a2

= 0 .

= lim

2

2

x→∞ a

x

+

x

− a

2

x→∞ a

x +

x

− a

2

Это означает, что прямая

y =

b

x

является асимптотой гиперболы при

x → +∞. В

a

силу симметрии гиперболы

относительно

осей,

так

же как и симметрии пары прямых

y = ± b x относительно осей,

можно сказать, что обе эти прямые являются асимптотами как

F1

А

А

F

2

1

2

−c

−a

a c

x

зафиксировать значение a и увеличивать

значение параметра c . При этом будут

увеличиваться

величина эксцентриситета

ε и значение

b

параметра b , так как

b2 = c2 − a2 .

но тогда будет расти и абсолютная величина

углового коэффициента

a

B

y

A

y

F

−

p

O

x

p

x

2

2

Рис. 27

Поскольку

p

2

p

2

p 2

p 2

AF 2 = x −

+ y2 и AB2 = x

+

, то x

−

+ y2

= x +

,

2

2

2

2

что равносильно

x2 − px +

p 2

+ y2

= x2 + px +

p2

, или − px + y2 = px ,

4

4

откуда следует уравнение параболы

y2

= 2 px ,

которое называется каноническим.

Исследование формы кривой

Из уравнения параболы видно, что кривая симметрична относительно оси Ox

и

проходит через начало координат.

Для ее ветви в верхней полуплоскости, при y ≥ 0 ,

явно решенное относительно y уравнение имеет вид

y = 2 px (0 ≤ x ≤ ∞),

[0,+∞),

из которого видно,

что

когда x

возрастает

на

полуинтервале

ордината

y

O

x