Нормальный вектор для высоты AK

- вектор

− 2

. В уравнение

BC =

−1

x0 и y0

- координаты точки A . Получим − 2(x +1)−( y + 5)= 0, или, раскрывая скобки,

− 2x − y −7 = 0, или

2x + y + 7 = 0.

(BC + BA). Так как

Направляющий

вектор

для

медианы

BM -

вектор

BM =

1

2

− 2

− 4

1

− 2

− 4

−3

BC =

и BA

=

, то

BM =

=

. Уравнение медианы можно

2

−1

−1

− 4

− 4

− 2,5

получить, подставив

в каноническое

уравнение

x − x0

=

y − y0

вместо

m

и n

n

m

координаты вектора

BM , а

вместо

x0 и y0

- координаты точки B .

Получим

x −3

=

y +1

, или − 2,5 x + 7,5 = −3 y −3 , или − 2,5 x +3y +10,5 = 0 .

−3

− 2,5

Ответ:

Уравнение

высоты

AK :

2x + y + 7 = 0.

Уравнение

медианы

BM :

x

−

x0

y

−

y0

m

=

и

выбирая в качестве направляющего вектора

s =

вектор

m

n

n

−3

Подставляя в уравнение координаты точки A вместо чисел

x

и y ,

AB =

.

0

0

4

x −1

=

y +1

4x − 4 = −3y −3, или 4x + 3y −1= 0.

получим

, или

− 3

4

Уравнения сторон

AD и

BC получим, используя уравнение прямой с нормальным

вектором

A(x − x0 )+ B ( y − y0 )= 0, где нормальным вектором является тот же вектор

AB .

Для стороны AD подставляем в это уравнение вместо x0 и y0

координаты точки

A : − 3(x −1)+ 4( y +1)= 0, или 3x − 4y −7 = 0.

4

− 4

ортогонален

AB , что легко проверить, вычислив

Каждый из векторов

и

3

−3

их скалярные произведения. На рисунке 21 вектор

4

, так как он составляет с

AD =

3

координатными осями острые углы.

y

C

B

D

C1

x

A

D1

Рис. 21.

Теперь можно найти

координаты

точки

D ,

прибавляя

к координатам точки

A

координаты вектора AD :

xD =1+ 4 = 5,

yD = −1+ 3 = 2,

следовательно, D (5, 2).

Для стороны CD можно использовать уравнение прямой с нормальным вектором,

поскольку известны

принадлежащая ей

точка D (5, 2) и

нормальный

вектор AD .

Подставляя их в это уравнение, получим

4(x −5)+ 3( y − 2 )= 0 и, раскрывая скобки,

4x +3y − 26 = 0 .

Теперь

можно

использовать

второй,

ортогональный

к

вектору

AB , вектор

AD =

− 4

A , найдем координаты

. Прибавляя его координаты к координатам точки

1

−3

точки D1, симметричной точке D относительно стороны

AB . Легко проверить, что

координаты

точки

D1(−3, − 4).

Следовательно, условиям

задачи удовлетворяет и

квадрат ABC1D1 , симметричный квадрату ABCD относительно стороны AB .

Уравнение стороны CD1

имеет вид 4(x + 3)+ 3( y + 4)= 0, или 4x + 3y + 24 = 0.

Ответ:

4x + 3y −1= 0,

3x − 4y −7 = 0, 3x − 4y +18 = 0 , 4x +3y − 26 = 0

или