4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ
1.Как вычислить норму вектора?
2.Как вычисляется скалярное произведение?
3.Какие векторы образуют стандартный базис в пространстве R3 ?
4.В чем заключается геометрический смысл скалярного произведения?
5.Когда скалярное произведение двух векторов равно нулю?
6.Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов?
7.Как вычисляется проекция вектора на направление другого вектора?
8.Каким свойством обладают направляющие косинусы?
9.Как вычисляется векторное произведения двух векторов?
10.Когда векторное произведения двух векторов равно нулю?
11.Как вычисляется смешанное произведение векторов?
12.Когда вектора называются компланарными?
13.Как вычислить площадь треугольника, построенного на двух векторах?
14.По какой формуле вычисляется объем параллелепипеда?
5.ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1.Вектор в декартовой прямоугольной системе координат. Норма или модуль вектора.
Ортогональные вектора. Базис в R3 . Ориентация векторов.
2.Скалярное произведение двух векторов. Алгебраические свойства скалярного произведения.
3.Геометрический смысл скалярного произведения.
4.Линейные операции над векторами.
5.Определение угла между двумя векторами.
6.Вычисление проекции вектора на направление другого вектора.
7.Вычисление работы, производимой вектором силы по перемещению материальной точки.
8.Направляющие косинусы.
9.Понятие коллинеарности двух векторов. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.
10.Определение векторного произведения двух векторов.
11.Векторное произведение и его свойства. Геометрический смысл векторного произведения.
12.Правые и левые тройки векторов.
13.Вычисление площадей параллелограмма и треугольника, построенных на двух векторах. Вычисление момента силы. Определение вектора, ортогонального двум данным.
14.Смешанное произведение трех векторов и его свойства.
15.Геометрический смысл смешанного произведения. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра.
6.ВЫПИСКА ИЗ КАЛЕНДАРНОГО ПЛАНА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
2.Векторная алгебра (4 часа).
1.Векторы в R3 . Координаты вектора. Линейные операции с векторами. Модуль и направляющие косинусы. Коллинеарные векторы. Скалярное произведение векторов. Вычисление угла между векторами. Проекция вектора (2 часа).
Л.2 гл. 2 §1: 1.1 – 1.2.
2.Векторное произведение векторов. Вычисление площадей параллелограмма и треугольника. Смешанное произведение векторов. Правая и левая тройка векторов. Компланарные векторы. Вычисление объемов параллелепипеда и тетраэдра (2 часа).
Л.2 гл. 2 §1: 1.3 – 1.6.
22
7.Тест по теме 2 «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА»
1.Скалярное произведение (ar,b )= 0 , если… Укажите номера верного ответа в таблице 3.
Таблица 3
1 |
2 |
Векторы ортогональны |
Векторы коллинеарны |
2.Векторное произведение [ar, b]= 0 , если… Укажите номера верного ответа в таблице 4.
Таблица 4
1 |
2 |
Векторы ортогональны |
Векторы коллинеарны |
|
|
3.Смешанное произведение arb cr = 0 , если… Укажите номер верного ответа в таблице 5.
Таблица 5
1 |
2 |
Векторы образуют базис |
Векторы компланарны |
|
|
4.Смешанное произведение векторов k ,i , j равно. Укажите номер верного ответа в
таблице 6.
|
|
|
Таблица 6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
1 |
–1 |
Нулевому вектору |
5. Скалярное произведение векторов (-3,5,7) и (-1,-4,2) равно? Укажите номер верного ответа в таблице 7.
Таблица 7
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
6 |
-3 |
0 |
|
|
|
|
6. Векторное произведение векторов (2,-1,-2) и (-6,3,6) равно . Укажите номер верного ответа в таблице 8.
Таблица 8
1 |
2 |
-27 |
Вектору (-4,2,4) |
3 |
4 |
Вектору (0,0,0) |
0 |
7. Смешанное произведение векторов (1,2,-3), (-2,0,1) и (-1,2,-2) равно. Укажите номер верного ответа в таблице 9.
Таблица 9
1 |
2 |
Вектору (-2,4,-4) |
-4 |
|
|
3 |
|
4 |
Вектору |
(0,0,0) |
0 |
|
|
|
8.Какую тройку образуют векторы i ,k , j ? Укажите номер верного ответа в таблице 10.
|
|
|
|
|
|
Таблица 10 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
Правую |
Левую |
|
|
|
Компланарны |
|
|
9. Скалярное произведение (rj + i ,k )=? Укажите номер |
|
верного ответа в таблице 11. |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|||
0 |
Нулевому вектору |
2 |
Вектору i − j |
||||
10. Векторное произведение [rj +i ,k ]=? Укажите номер верного ответа в таблице 12.
23
|
|
|
|
Таблица 12 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
0 |
|
Нулевому вектору |
2 |
Вектору ir − rj |
11. Известно, что векторы |
a и b – ненулевые и не коллинеарные. Что можно сказать про |
|||
векторы ar, b и векторное произведение [ar,b ]? Укажите номер верного ответа в таблице
13.
|
|
Таблица 13 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
Образуют левую тройку |
Линейно зависимы |
Линейно не зависимы |
12. Известно, что вектор a |
ортогонален векторам b и c . Тогда векторы a и векторное |
|||
произведение [ar,br]? Укажите номер верного ответа в таблице 14. |
||||
|
|
|
|
Таблица 14 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Ортогональны |
|
Коллинеарны |
|
Компланарны |
13. a и b – векторы. Что можно сказать о тройке векторов a , |
b и |
ar −b ? Укажите номер |
||
верного ответа в таблице 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 15 |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
Образуют правую тройку |
|
Образуют базис |
|
Компланарны |
14. При каком t векторы (2,5,-6) (-1,t,3) коллинеарны? Укажите номер верного ответа в таблице 16.
|
|
|
Таблица 16 |
1 |
2 |
3 |
4 |
4 |
-2,5 |
-2 |
Ни при каком |
|
|
|
|
15. При каком t векторы (-t,5,-6) (5,t,3) ортогональны? Укажите номер верного ответа в таблице 17.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 17 |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
r |
r |
r |
-2,5 |
|
-10 |
|
Ни при каком |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. Векторы 3i ,2k ,−5i |
... Укажите номер верного ответа в таблице 18. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 18 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
3 |
||
|
|
|
|
|
|||||
Образуют базис |
|
|
Линейно зависимы |
Линейно не зависимы |
|||||
17. Какой угол образует с осью Oy вектор (3,-4,-2)? Укажите номер верного ответа в таблице
19.
|
|
|
|
Таблица 19 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
Вектор |
|
Вектор коллинеарен |
Вектор образует с осью |
Вектор образует с осью |
перпендикулярен оси |
|
|||
|
оси Oy |
Oy тупой угол |
Oy острый угол |
|
Oy |
|
|||
|
|
|
|
|
18. Заданы векторы |
a =(1,0,1) и b =(-1,4,2). Модуль вектора ar +b равен? Укажите номер |
|||
верного ответа в таблице 20. |
|
|
||
|
|
|
|
Таблица 20 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
7 |
|
5 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
24
19. a и b – единичные векторы. Чему равно скалярное произведение векторов ar +b и ar −b ? Укажите номер верного ответа в таблице 21.
|
|
|
Таблица 21 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
1 |
-1 |
0 |
Заданных условий не |
|
достаточно |
||||
|
|
|
20. a и b – единичные и ортогональные векторы. Чему равно их векторное произведение? Укажите номер верного ответа в таблице 22.
|
|
|
Таблица 22 |
1 |
|
2 |
3 |
1 |
|
0 |
Единичному вектору |
|
|
|
|
8. |
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА |
||
Основная
1.Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. и др. Вся высшая математика: Т. 1: Аналитическая геометрия; Векторная алгебра; Линейная алгебра; Дифференциальное исчисление: Учебник для вузов. Изд. 2-е, 2000.
2.Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Под ред. Ефимова А.В. М., Наука, 1986.
3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.1. - М.: Высшая школа, 1986.
Дополнительная
4.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Наука, 1984.
М., Мир, 1984.
5.Судакова Г.Г. Элементы линейной алгебры. Конспект лекций. Л.. Изд. ЛКИ. 1977.
9.ОТВЕТЫ К ТЕСТУ
Таблица 23. Ответы к тесту
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
задания |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
2 |
1 |
3 |
|
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
задания |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ответ |
3 |
2 |
3 |
2 |
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25