Если вектор имеет начало в точке A(x1 , y1 ,z1 ), а конец в точке B(x2 , y2 ,z2 ), то

x

2

− x

1

ar

= AB = y2

− y1

, поскольку из рис. 2.7. видно, что

− z1

z2

x

x

x

− x

ar

2

1

2

1

= AB = OB −OA = y2

− y1

= y2 − y1

.

z

2

z

1

z

2

− z

1

z

a

B

O

y

скалярного произведения по формуле:

(ar,b )

cosα =

r

r

.

Найти внутренний

угол A

a

b

B

в треугольнике ABC , если

Пример 1.

и внешний

угол

A(2,−1,4), B(4,0,2) и C(2,−3,1).

AB

В

А

С

Рис. 2.8.

Решение. Внутренний угол A в треугольнике ABC – это угол между векторами AB и AC .

Внешний угол B в треугольнике ABC – это угол между векторами AB и BC (рис. 2.8.).

4

− 2 2

2 −2

0

2 − 4

− 2

0

+1

− 2

−3

AB =

= 1

, AC = −3 +1 =

, BC = −3 −

0 =

.

2

− 4

−3

− 2

−1

− 2

1 − 4

1

cos A =

(AB, AC)

=

2 0 +1 (− 2)+ (− 2) (−3)

=

AB

AC

22 +12 + (− 2)2 02 + (− 2)2 +(−3)2

=

0 − 2 + 6

=

4

=

4 .

4 +1 + 4 0 +

4 +9

9 13 3 13

cos B =

(AB,BC)

=

2 (− 2)+1 (−3)+(− 2) (−1)

=

22 +12 + (− 2)2 (− 2)2 + (−3)2 + (−1)2

AB

BC

=

− 4 −3 + 2

9 +1

=

−5

= −

5 .

4 +1 + 4 4 +

9 14

3 14

Ответ. cos A

=

4

, cos B =

−

5 .

3

13

3

14

ar

br

Пример 2. Найти угол между векторами ar +b и ar −b , если

=1,

= 6 , ar b = 60o .

Решение. Обозначим искомый угол α и найдем его косинус

ar 2 − br 2

(ar + br, ar − br)

ar2 − br2

cosα

=

ar + br

ar − br

=

(ar + br)2

(ar − br)2

=

ar 2

+ 2(ar, br)+ br 2

ar 2 − 2(ar, br)+ br 2 =

=

12 −62

=

1 −36

=

12

+2 1 6 cos 60o +62

12

−2 1 6 cos 60o

+62

1 +12 0,5 +36

1 −12 0,5 +36

=

−35

1333

Ответ. cosα =

− 35 .

1333

2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора.

Прrar =

ar

cosα =

(arr,b ).

b

b

Пример 3. Найти проекцию вектора ar + 2b на вектор MN , если

r

− 4

r

2

3

−

M (3,− 2,−5), N (3,4,3).

a

=

,

b

=

6 ,

−

2

1

(ar +

r

Решение.

Пр

(ar

+ 2br)=

2b ,MN ).

MN

MN

− 4

r

2

− 4

+ 4

0

3 −3

0

−

3 −

12

−9

4

+ 2

6

ar + 2b = 3

+ 2

6

=

=

, MN =

=

.

−1

2

−1

+ 4

3

3

+5

8

Пр

(ar

+

2br)= 0 0 +(−9) 6 +3 8 = −30 = −3 .

MN

02 +62 +82

100

Пусть под действием вектора силы

f материальная точка

M переходит в положение

N . Если ввести вектор перемещения

sr = MN ,

то работу A , производимую силой

f ,

можно вычислить следующим образом:

A =

fr

sr

cos(fr sr)=

(fr,sr).

f1 , f2 , f3 , приложенных к

Пример 4. Вычислить работу равнодействующей трех сил

точке M (1,1,3), если точка под действием этих сил переходит в положение

N (1,2,−3)

и

r

0,3

r

0,5

r

0,7

− 2,2

4,4

0,8

векторы сил равны: f1

=

,

f 2 =

,

f3

=

.

−1,5

3,6

− 2,1

1 −1

0

Решение. Вектор перемещения sr

2

−1

= MN =

=

1

.

r

r

−3 −3

−6

+ f3

Равнодействующая трех сил f

=

f1 + f2

=

0,3 + 0,5 + 0,7

1,5

− 2,2 + 4,4 + 0,8

3

f , равна

=

=

.

Тогда

работа

А,

производимая силой

−1,5 − 2,1 +3,6

0

A = (fr,sr)=1,5 0 +3 1 +0 (−6)= 3.

r

x

Ox, Oy, Oz

соответственно, то косинусы этих углов можно

вектора a

= y с осями

z

определить по формулам:

cosα = cos(ar ir)=

(arr,i )

=

x

;

a

x2

+ y 2

+ z 2

r r

(ar, j )

=

y

;

cos β = cos(a j )=

r

+ y 2

a

x2

+ z 2

cosγ = cos(ar kr)=

(arr,k )

=

z

.

a

x2

+ y2

+ z 2

Решение. cos

2

α +cos

2

β +cos

2

γ

1 2

−

1 2

1

2

1

+

1

+

1

=1.

=

2

+

2

+−

=

4

4

2

2

r

− 2,7

5,2

a

=

образует с осями Oy и Oz острые углы, а с ось Ox тупой.

1,25

r

x

x

r

r

x

x

1

r

2

1

2

Итак, если a

= y1

, b

= y2

,

то a || b a =α b , или y1

=α y2

,

z

1

z

2

z

z

2

1

x

=α x

x

y

z

1

2

=

=

или y1 =α y2 , или

1

1

1

.

x2

y2

=α z2

z2

z1

p и q векторы

Пример 1. Выяснить, при каких значениях

r

p

r

2

=

a

= 1

и

b

q

коллинеарны?

− 2

−1

Решение. Из условия коллинеарности векторов следует

p

=

1

=

− 2

= 2 или

q

−1

2

p

= 2,

1 = 2 , а тогда p = 4 ,

q =

1

.

2

2

q

Ответ. p = 4 , q =

1

.

2

r

1

=

− 2

Пример 2. Найти орт вектора a

.

− 2