r

r r

образуют правую тройку,

3. Векторы a,b ,c

так как ar br cr = ([ar,br],cr)= ([ar,br],[ar,br])=

[ar,br]

2 > 0 .

[ar,br]

b

a

a

b

[ar,b ]

Рис. 2.11.

br

Пример 1. Найти

[cr ,cr

]

, если cr = 4ar −2b и cr = −ar +3b .

ar

=

= 2 , ar b = 30o .

1

2

1

2

Решение. По свойствам векторного произведения

[cr1 ,cr2 ]= [4ar −2br,−ar +3br

]= −4[ar,ar]+ 2[b ,ar]+12[ar,b]−6[b ,b ].

Учитывая, что [ar, ar]= 0r, [br, br]= 0r и [ar,b]= −[b ,ar], получим

[cr1 ,cr2 ]= −2[ar,br]+12[ar,br]=10[ar,br]. Тогда

[cr1 ,cr2 ]

=10

[ar,br]

=10

ar

br

sin(ar br)=

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b равна

Sпар =

ar

br

sin(ar br), а площадь треугольника Sтр

=1 2 Sпар =1 2 ar br sin(ar br).

Из условия

2

пункта 2.8 следует Sпар = [ar,br], Sтр =1 2

[ar,br]

.

Пример 1. Вычислить площадь треугольника

ABC ,

если

A(2,− 2,3),

B(−3,− 6,0),

C(4,−3,−1).

Решение. Треугольник АВС образован векторами

kr

−5

2

[AB, AC]=

ir

rj

r

r

r

13

− 4

−1

−5 − 4

−3

AB =

и

AC =

.

=13i

−26 j

+13k

= − 26

.

−3

− 4

2 −1 − 4

13

S ABC =1 2 [AB, AC]

=1 2

132 + 262 +132

=13 2

6 .

Ответ. 13 2

6 .

2. Вычисление момента сил.

Если вектор силы

fr

приложен к точке A и требуется найти момент этой силы

относительно точки О, то момент силы M равен M = [OA, f ](рис.2.13).

M

f

fr

O

A

Рис. 2.13.

r

−1

Пример 2. Вычислить

A(3,− 2,7)

момент силы

f = 2

,

приложенной

к

точке

относительно точки O(−1,2,1).

1,5

ir

rj

kr

4

r

r

r

−18

− 4

4

− 4

6

+

−

12

Решение. OA =

, M = [OA, f ]=

= −18i

−12 j

4k

=

.

6

−1

2

1,5

4

−18

−12

Ответ. M =

.

4

1

r

−7

(p,c)= 3

1

ar

2

0

=

и b

=

, для которого

, где c = 1 .

3

2

1

Решение.

Вектор

p коллинеарен векторному произведению [ar,b ], следовательно

Поскольку [ar

r

]=

ir

rj

kr

r

r

r

4

1

2

3

+

,b

= 4i

− 23 j

14k

=

− 23 , то

−7

0

2

14

4

4α

− 23

4α 1 − 23α 1 +14α 1 = 3 ,

p =α

=

− 23α . Так как (p,cr)= 3 , то

14

14α

4

− 2,4

p = α − 23

= 13,8

.

14

−8,4

− 2,4

Ответ. p =

13,8

.

−8,4

2.10

Геометрический смысл смешанного произведения. Задачи,

решаемые с помощью смешанного произведения

arbrcr = ([ar,br],cr)=

[ar,br

]

cr

cosα , где α - угол между векторами

[ar,b ]и c .

Построим на векторах

ar,b ,cr параллелепипед (рис. 2.14.)

и покажем, что смешанное

произведение arbrcr равно модулю объема этого параллелепипеда.

Так как

[ar,br]

равно

площади параллелограмма, построенного

на векторах ar,b

или

площади основания

параллелепипеда,

построенного на векторах

ar,b ,cr, а cr cosα – проекция вектора cr на

Решение.

Тетраэдр ABCD построен на векторах

− 2

−1

−7

3

2

AB = 5

, AC =

, AD =

, (Рис. 2.17).

3

3

1

r r r

Vтетраэдра =1 6 a b c . Вычислим

r r r

− 2

5

1

(−3) (−3)

− 2

5

1

5

−12

= (−13

−12)= −77 .

−1

3

3

=

5 −12

0

=

5

a b c = =

−1

−13

− 7

2

3

−1

−13

0