Доказательство

Пусть α(x)

б.м.

в точке

x0 . Обозначим

1

= f (x)

и

X

-

область определения

α( х)

функции α(x) . Возьмём E > 0 - сколь угодно большое число, тогда

1

= ε- сколь угодно

E

1

малое число. Так как

α(x) б.м. в точке x0 , то

для ε =

> 0

E

= 1

= 1 > 1 = E

Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X α(x) < ε f (x)

•

α(х)

α(х)

ε

Итак, ε > 0 Uδ(x0 ) : x U•δ(x0 ) ∩ X

f (x)

> E ,

т.

е.

f (x) ― б.б. в точке

x0 . Аналогично доказывается и второе утверждение теоремы.

Теорема 2.1.11

Произведение функции, б.м.

в точке x0 ,

на ограниченную функцию в окрестности

точки x0 есть б.м. функция в той же точке.

Доказательство

Пусть α(x) - б.м. в точке

x0 , а ϕ(x) - ограниченная в

Uδ(x0 ) ,

т.е.

ϕ(x)

≤ k для

всех значений

x Uδ(x0 ).

Обозначим

f (x) = α(x) ϕ(x) .

Пусть

X -

область

определения для функций α(x)

и ϕ(x) . Возьмём ε > 0 и найдём

ε =

ε

. Так как α(x)

1

k

ε

•

ε

б.м. в точке x , то

по ε =

найдём U

δ

(x

0

) : x U

δ(x

0

) ∩ X

α(x)

< ε =

.

0

1

k

1

k

•

Тогда для x U δ(x0 ) ∩ X справедливо неравенство:

f (x)

=

α(x) ϕ(x)

=

α(x)

ϕ(x)

≤

ε

k = ε

f (x) б.м. в точке x0 .

k

sin x

x , а 1

Например,

lim

= 0 , т. к. sin x – ограниченная для всех

– б.м. в точке

x→±∞

x

x

точке. Действительно, если ϕ1(x),...,ϕn (x) - б.б., то

f (x) = ϕ (x) ... ϕ

n

(x) =

1

...

1

=

1

,

1

1

1

1

1

...

ϕ (х)

ϕ

п

(х)

ϕ (х)

ϕ

п

( х)

1

1

откуда следует, что функции

f (x) представляет собой

1

, то есть б.б.

б.м.

Теорема 2.1.12

Сумма конечного числа функций, б.м.

в точке x0 , является б.м.

функцией в той же

точке.

15