2.1.6. Ограниченные и неограниченные функции

Определение 2.1.10

Функция f (x)

называется ограниченной на множестве X , если

или существуют числа

k > 0 : x X

f (x)

≤ k

M , N : x X M ≤ f (x) ≤ N .

Например, f (x) = sin x –

ограниченная функция

на

(−∞;+∞) ,

т.к.

sin x

≤1 при

любых x .

X ,

Если функция не является ограниченной на множестве

то

её называют

неограниченной.

Следовательно,

f (x)

не ограничена на

X ,

если для любого сколь

угодно большого k > 0 существует хотя бы один x* X :

f (x*)

> k .

Теорема 2.1.6

Если функция имеет конечный предел

при

x → x0 ,

то

функция

ограничена в

окрестности предельной точки x0 .

Доказательство

lim f (x) = A

•

∩ X

f (x) − A

< ε

ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 )

x→x0

A −ε < f (x) < A + ε.

Обозначим

A −ε = M

и

A + ε = N .

Тогда

•

выполняется

x U δ(x0 )

M ≤ f (x) ≤ N , т. е. f (x) – ограниченная.

Теорема 2.1.7

Если существует конечный ненулевой предел функции

f (x)

при x → x0 , то функция

1

ограничена в окрестности предельной точки x0 .

f (x)

Доказательство

Пусть lim f (x) = A, где А ≠ 0 . Тогда справедливо

x→x0

•

f (x) − A

< ε , или

ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X

A −ε < f (x) < A + ε.

Так как A ≠ 0 , то для достаточно малого

ε > 0 все части последнего неравенства

имеют одинаковые знаки

1

<

1

<

1

1

- ограничена в окрестности

A + ε

f (x)

A −ε

f (x)