т.е. для любого |
ε > 0 |
существует такое |
δ(ε) = log 1 ε > 0 , |
что при |
x > log 1 ε = δ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
lim ( |
|
)х |
|
2 |
|
|
выполняется неравенство |
|
|
( |
1 |
)x − 0 |
|
< ε , а это и доказывает, что |
1 |
= 0 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ 2 |
|
|
|
||||
2.1.3. Односторонние пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Правосторонней h –окрестностью точки |
x0 |
|
называется множество точек х, |
таких, |
||||||||||||||||||
что x (x0 ; x0 + h) , где h > 0 (рис. 2.9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обозначение: Uh+(x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хо( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(хо+ h |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Левосторонней |
h –окрестностью точки |
x0 |
называется множество точек х, |
таких |
||||||||||||||||||
,что x (x0 −h; x0 ) , где h > 0 (рис. 2.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Обозначение: Uh−(x0 ) . |
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
хо- h ( |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
хо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сформулируем определения правостороннего и левостороннего пределов в терминах окрестностей.
Определение 2.1.8
Число А называется правосторонним пределом функции f (x) при х → x0 + 0 (х стремится к x0 справа), если для любой окрестности точки А найдётся такая окрестность
точки x0 , |
что для всех х из области определения Х и |
найденной правосторонней |
|
окрестности точки |
x0 соответствующие значения функции |
f (x) попадают в заданную |
|
окрестность точки А. |
|
||
А= |
lim |
f (x) Uε( A) Uδ (x0 ) : x Uδ+ (x0 ) ∩ X f (x) Uε( A) . |
|
|
x→x0 +0 |
|
|
Определение 2.1.9
Число А называется левосторонним пределом функции f (x) при х→ x0 − 0 (х стремится к x0 слева), если для любой окрестности точки А найдётся такая окрестность точки x0 , что для всех х из области определения Х и найденной левосторонней окрестности точки x0 соответствующие значения функции f (x) попадают в заданную окрестность точки А.
А= lim f (x) Uε ( A) Uδ (x0 ) : x Uδ− (x0 ) ∩ X f (x) Uε ( A) .
x→x0 −0
Если число А конечное, то можно дать равносильные определения односторонних пределов на языке « ε − δ »:
А= lim f (x) ε > 0 δ(ε) > 0 : x (x0 ; x0 + h) ∩ X f (x) − A < ε ;
x→x0 +0
А= |
lim |
f (x) |
ε > 0 δ(ε) > 0 : x (x0 − h; x0 ) ∩ X |
|
f (x) − A |
|
< ε . |
|
|
||||||
x→x0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2.1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказать, что |
lim |
log 2 x = −∞. |
|||||
|
|
x→0−0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|