3

arcsin x

~

x

7

a x −1

~

x ln a

ex −1

~ x

x→0

x→0

x→0

4

arctg x

~

x

8

(1 + x)a −1

~ ax

x→0

x→0

Задача 2.1.9

1

1 + x sin x −1

(1 − x sin x)

−1

1

x sin x

=

1

.

2

lim

= lim

= lim

2

x→0

ex2 −1

x→0

x2

x→0

x2

2

Задача 2.1.10

Вычислить предел lim

ех2 − е2х

.

x→0 cos 4x − cos 2x

Решение

х2

2х

е

2х

х2 −2x

е

2х

е

х2 −2x

е

− е

0

е

−1

−1

lim

=

= lim

= lim

.

4x+2x

4x−2x

x→0 cos 4x − cos 2x

0

x→0

− 2 sin

sin

x→0

− 2 sin 3x sin x

2

2

Поскольку ех2 −2x −1

~

х2 − 2x

~ − 2х, а sin 3x sin x

~ 3x x = 3x2 , то

x→0

x→0

x→0

х2

2х

е

2

х

х2 −2x

−

2х

е

− е

е

1

е

(− 2x)

lim

= lim

= lim

=

− 2 sin 3x sin x

− 2 3x2

x→0 cos 4x − cos 2x

x→0

x→0

е2х

1

= lim

=

= ∞ .

3x

x→0

0

2.1.10. Показательные неопределенности

Функция вида y = (u(x))v( x) , где u(x) > 0 называется показательно степенной.

Так как (u(x))v( x)

= eln(u(x))v( x)

= ev( x) ln u( x) , то

lim (u(x))v( x)

= lim ev( x) ln u( x)

lim

v( x) ln u( x)

= ex→x0

.

x→x0

x

→x0

При вычислении пределов показательно степенных функций возможны следующие

неопределенности:

=[1∞ ]= elim v ln u

[1∞ ], если u →1, v → ∞ . Тогда lim uv

= e[∞ 0],

[∞0 ], если u → ∞, v → 0 . Тогда lim uv

=[∞0 ]= e[0 ∞],

[00 ], если u → 0, v → 0 . Тогда lim uv =[00 ]= e[0 ∞] .

Задача 2.1.11

x −1 2 x

∞

lim 2 x ln

x−1

lim 2 x ln (1−

1

)

lim 2 x(−

1

)

−2

x

x

x

lim

=

[1

]= ex→∞

= ex→∞

= ex→∞

= e

.

x

x

→∞