Последнее неравенство и означает, что функция в окрестности предельной точки x0 является неограниченной.
2.1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (б.м. и б.б.)
Определение 2.1.11 |
|
Функция α(x) называется бесконечно малой (б.м.) в точке x0 |
, если lim α(x) = 0 . |
|
x→x0 |
Теорема 2.1.9 |
|
Для существования конечного предела lim f (x) = A, необходимо и достаточно,
x→x0
чтобы функцию f (x) можно было представить в виде f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .
Доказательство
•
lim f (x) = A ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X
x→x0
Обозначим f (x) − A = α(x) α(x) < ε, иначе говоря
•
ε > 0 Uδ (x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X α(x) −0 < ε
Следовательно α(x) ― б. м. в точке x0 , где α(x) = f (x) − A
f (x) − A < ε
lim α(x) = 0 .
x→x0
f (x) = A + α(x) .
Определение 2.1.11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Функция f (x) |
называется |
бесконечно |
большой (б.б.) |
в |
|
|
|
точке |
x0 , если |
||||||||||||||
lim f (x) = ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В определении б.б. функции |
f (x) → ∞, это значит, что охватываются случаи стремления |
||||||||||||||||||||||
f (x) → +∞ или |
f (x) → −∞. |
Однако можно привести пример б.б. функции, которая не |
|||||||||||||||||||||
стремится к + ∞ или −∞. Например, f (x) = tg x - б.б. в точке x = |
|
π |
, хотя |
lim f (x) не |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
π |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
существует. Действительно |
lim |
tg x = −∞ и |
lim tg x = +∞. |
Односторонние пределы |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
π |
−0 |
x→ |
π |
+0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
не равны. Однако |
lim |
|
tg x |
|
= +∞ |
, т. е. f (x) = tg x - б.б. в точке x = |
π |
. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x→ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Свойства б.м. и б.б. функций
Теорема 2.1.10 |
|
|
|
|||
|
Если α(x) б.м. в точке x0 , то |
1 |
– б.б. в точке x0 и если f (x) б.б. в точке x0 , то |
|||
α( х) |
||||||
|
|
|
|
|
||
1 |
– б.м. в точке |
x0 . |
|
|
||
|
f (х) |
|
|
|||
14