lim

sin x

= 1

― первый замечательный предел.

x→0

x

Рассмотрим − π2 < x < π2 , x ≠ 0 . Тогда в силу нечётности справедливо неравенство

x

1

sin x

<

x

<

tg x

,

(x ≠ 0), 1 <

<

.

sin x

cos x

Так как в Ι и ΙV четвертях все выражения под знаком модуля положительные (в ΙV

четверти x < 0 и sin x < 0 ), то

1 <

x

<

1

1 >

sin x

> cos x . Так как

sin x

cos x

x

lim cos x =1, то по теореме о сжатой функции существует lim

sin x

=1.

x→0

x→0

x

lim С = С , где С = const ;

(1)

x→x0

lim

Сf (x) = С lim

f (x) , где С = const .

(2)

x→x0

x→x0

Если существуют конечные пределы lim

f (x) = A и lim g(x) = B , то

x→x0

x→x0

lim ( f (x) + g(x)) = A + B ;

(3)

x→x0

lim ( f (x) g(x)) = A B ;

(4)

x→x0

lim

f (x)

=

A

, где В ≠ 0 ;

(5)

g(x)

B

x→x0

lim g(x)

x→x

0

.

(6)

lim (f (x))g(x) = lim f (x)

x→x0

x→x0

lim

(7)

f (x) = f lim

x .

x→x0

x→x0

Теоремами (1) – (6) можно пользоваться и в том случае, если

lim f (x) = ∞ или

x→x0

Пусть lim f (x) = A и

lim g(x) = B .

x→x0

x→x0

1. Вычисление предела суммы f ( x) + g( x) .

1.

A, B – конечные числа

lim ( f (x) + g(x)) = A + B .

x→x0

2.

A = +∞, B = +∞

lim ( f (x) + g(x)) = [+∞ + ∞] = +∞.

x→x0

10

3.

A = −∞, B = −∞

lim ( f (x) + g(x)) = [−∞ − ∞] = −∞.

x→x0

4.

A = ∞, B – конечное число

lim ( f (x) + g(x)) =[∞ + В] = ∞ .

x→x0

5.

A = +∞, B = −∞

lim ( f (x) + g(x)) =[+∞ − ∞]

.

x→x0

Вычислить предел lim (3x2 + 5х −1) .

x→1

Решение

Из формул (2), (4), (1) и (3) следует, что

lim (3x

2

+ 5х −1)

2

2

+ 5

1 −1

= 7 .

= 3 lim х

+ 5 lim х − lim 1 = 3 1

x→1

x→1

x→1 x→1

2. Вычисление предела произведения f ( x) g( x) .

1.

A, B – конечные числа

lim ( f (x) g(x)) = A B .

x→x0

2.

A ≠ 0, B = ∞

lim ( f (x) g(x)) =[ A ∞] = ∞ .

x→x0

3.

A = 0, B = ∞

lim

( f (x) g(x)) =[0 ∞]

– неопределённость вида

x

→x0

[0 ∞] .

4.

A = ∞, B = ∞

lim ( f (x) g(x)) = [∞ ∞] = ∞ .

x→x0

1−x

πx

lim1−lim

х

π

1−1

π

x→1 x→1

lim (e

tg

2

)= е

tg

lim x

= e

tg(

2

1)= [1

∞]= ∞.

x→1

2 x→1

f ( x)

3. Вычисление предела отношения

.

g( x)

1.

A, B – конечные числа, B ≠ 0 lim

f (x)

=

A

.

g(x)

x→x0

B

A ≠ 0, B = 0

f (x)

A

2.

lim

=

= ∞

g(x)

x→x0

0

3.

A – конечное число, B = ∞

lim

f (x)

=

A

= 0 .

g(x)

x→x0

∞

A = ∞, B – конечное число

lim

f (x)

∞

4.

=

= ∞ .

g(x)

x→x0

B

5.

A = ∞, B = 0

lim

f (x)

=

∞

= ∞ .

g(x)

x→x0

0

6.

A = 0, B = ∞

lim

f

(x)

=

0

= 0 .

g(x)

x→x0

∞

11