2.1.2. Определение предела функции

Пусть задана функция f (x) ,

X – её область определения, x0 – предельная точка

множества X .

Определение 2.1.7

Число А называется пределом функции

f (x) при

х → x0 ,

если

для

любой

окрестности Uε

точки А найдётся такая окрестность Uδ

точки x0 ,

что для всех х из

области определения X

•

x0 значения

и найденной проколотой окрестности Uδ точки

функции f (x)

попадают в окрестность Uε

точки А.

Обозначение:

lim f (x) = A или

f (x)

→ A .

x

→x0

x→x0

Запишем это определение в другой форме, используя символы:

– для любого;

– существует (найдётся);

: – такая что; – следует;

–

равносильно.

•

(х0 )

∩ Х f (x) Uε ( A) .

lim

f (x) = A Uε ( A) Uδ(x0 ) : x Uδ

x→x0

Если известно,

что

x0 и А –

конечные числа

или

равны ± ∞, то

можно дать

•

f (x) Uε( A)

определение

предела

функции,

заменив

записи

x Uδ (x0 )

и

соответствующими неравенствами.

Рассмотрим некоторые случаи значений x0 и А.

Пусть x0 и А – конечные числа, тогда

lim f (x) = A

ε > 0 δ(ε) > 0 : x X

и 0 <

x − x0

< δ

f (x) − A

< ε.

x→x0

Иными словами,

равенство

lim

f (x) = A означает, что для любого положительного

x→x0

числа ε существует такое число

δ > 0 ,

зависящее от

ε , что для любых

x X и

удовлетворяющих

неравенству

x − x0

< δ выполняется

неравенство

f (x) − A

< ε

(определение на языке "ε−δ" ).

у

А + ε)

А

А - ε

)

0

хо

-(δ

х хо х)о

+ δ

х

Рис. 2.6.

На рисунке 2.6 проиллюстрировано определение предела функции

f (x)

при х → x0 .

Для построения этого рисунка необходимо выполнить следующие действия:

Пусть x0

– конечное число, A = +∞ (рис. 2.7), тогда

lim

f (x) = +∞ ε > 0 δ(ε) > 0 : x X и 0 <

x − x0

< δ f (x) > ε.

x→x0

у

ε

)

0

(

х

хо

)

х

хо- δ

хо+

δ

Рис. 2.7.

Задача 2.1.1

Доказать, что

lim

(1 )х = 0 .

x→+∞

2

Решение

Областью определения функции является множество R, для

которого +∞ есть

предельная точка. Покажем, что

(1 )x

ε > 0 δ(ε) > 0 : x > δ

−0 < ε .

у

2

1

(12

х

(

ε

)

δ(

0

)

х

х

− ε

Рис. 2.8.

На рисунке

2.8

изображен

график

функции

у = (1 )х

и

проиллюстрировано

2

определение предела.

Рассмотрим равносильные неравенства

(

1

)x

−0

< ε (

1

)х

< ε x > log 1

ε .

2

2

2

Если взять 0 < ε <1, то log 1

ε > 0 и при δ(ε) = log 1

ε будет выполнено:

2

2

ε > 0 δ(ε) = log 1

ε > 0 : x > δ

(

1

)x

− 0

< ε ,

2

2

5