График функции y = sin 1x (рис. 2.6) колеблется между числами (−1) и 1, не приближаясь ни к какому значению.
Задача 2.2.4
1
Исследовать функцию y = ех−1 на непрерывность.
Решение
Данная функция имеет разрыв в точке x =1 . Найдем в этой точке односторонние пределы
|
1 |
|
[ |
1 |
] |
|
[−∞] |
|
1 |
|
[ |
1 |
] |
|
[+∞] |
|
lim ех−1 |
|
= е |
= 0 , lim ех−1 |
|
= е |
= +∞ . |
||||||||||
= е −0 |
|
|
= е +0 |
|
|
|||||||||||
x→1−0 |
|
|
|
|
|
x→1+0 |
|
|
|
|
|
|
||||
у
1
|
|
|
х |
0 |
|
1 |
|
|
|||
|
Рис. 2.7.
Следовательно, x =1 является точкой разрыва второго рода, так как предел справа бесконечный (рис. 2.7).
2.2.3. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке
Определение 2.2.5
Если функция y = f (x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а; b), то функция называется непрерывной на этом интервале.
Определение 2.2.6
Функция y = f (x) называется непрерывной на замкнутом интервале [a b;], если она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна справа в точке а и слева в
точке b .
Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.
1. Непрерывная на отрезке [a b;] функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т, т.е. m ≤ f (x) ≤ M
(рис. 2.8).
y 
M 
m |
|
|
|
|
a |
b |
x |
2. Непрерывная на отрезке [a b;] |
Рис. 2.8. |
||
функция является ограниченной на этом отрезке. |
|||
Это следует из неравенства М ≤ f (x) ≤ m |
х [а; b]. |
||
|
|
26 |
|
3. Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и принимает на
концах промежутка значения разных знаков, то она имеет хотя бы один корень на этом промежутке (рис. 2.9).
Рис. 2.9.
27