- •Раздел 2. Теория пределов и непрерывность функций
- •2.1. Теория пределов
- •2.1.1. Множества на числовой оси
- •Определение 2.1.1
- •Определение 2.1.2
- •Определение 2.1.3
- •Определение 2.1.4
- •Определение 2.1.5
- •Определение 2.1.6
- •2.1.2. Определение предела функции
- •Определение 2.1.7
- •Задача 2.1.1
- •Решение
- •2.1.3. Односторонние пределы
- •Определение 2.1.8
- •Определение 2.1.9
- •Задача 2.1.2
- •Решение
- •2.1.4. Основные теоремы о пределах
- •Теорема 2.1.1. (Единственность предела)
- •Доказательство. (От противного)
- •Теорема 2.1.2. (Предельный переход в неравенстве)
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.4. (О сжатой функции)
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.5. (Первый замечательный предел)
- •2.1.5. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Неопределенности
- •Задача 2.1.3
- •Задача 2.1.4
- •Задача 2.1.5
- •Решение
- •Задача 2.1.6
- •Решение
- •2.1.6. Ограниченные и неограниченные функции
- •Определение 2.1.10
- •Теорема 2.1.6
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.7
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.8
- •Доказательство
- •2.1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (б.м. и б.б.)
- •Определение 2.1.11
- •Теорема 2.1.9
- •Доказательство
- •Определение 2.1.11
- •Свойства б.м. и б.б. функций
- •Теорема 2.1.10
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.11
- •Доказательство
- •Следствия:
- •Теорема 2.1.12
- •Доказательство
- •2.1.8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б)
- •Определение 2.1.12
- •Задача 2.1.7
- •Решение
- •Определение 2.1.13
- •Примеры
- •Свойства эквивалентных б.м.
- •Определение 2.1.14
- •Свойства эквивалентных б.б. функций
- •2.1.9. Главная часть б.м. и б.б. функций
- •Определение 2.1.14
- •Определение 2.1.15
- •Задача 2.1.8
- •Решение
- •Определение 2.1.16
- •Задача 2.1.9
- •Задача 2.1.10
- •Решение
- •2.1.10. Показательные неопределенности
- •Задача 2.1.11
- •Задача 2.1.12
- •Решение
- •2.2. Непрерывность функций
- •2.2.1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.
- •Определение 2.2.1
- •Определение 2.2.2
- •Определение 2.2.3
- •Теорема 2.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 2.2.1
- •Доказательство
- •Определение 2.2.4
- •2.2.2. Классификация точек разрыва
- •1. Устранимый разрыв
- •2. Неустранимый разрыв первого рода
- •3. Неустранимый разрыв второго рода
- •Задача 2.2.1
- •Решение
- •Задача 2.2.2
- •Решение
- •Задача 2.2.3
- •Решение
- •Задача 2.2.4
- •Решение
- •2.2.3. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке
- •Определение 2.2.5
- •Определение 2.2.6
Решение
|
1 |
|
|
lim |
1 |
|
ln(cos x) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim (cos x)arctg2 x = [1∞ ]= еx→0 arctg2 |
х |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
lim |
1 |
|
ln(1+(cos x−1)) |
|
cos x−1 |
|
lim |
− |
x2 |
|
|
|||
|
|
|
lim |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= еx→0 arctg2 |
х |
|
|
|
= еx→0 х2 |
= еx→0 х2 = е−0,5 . |
|||||||||
2.2. Непрерывность функций
Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке (арифметические операции над непрерывными функциями, непрерывность сложной и обратной функции). Непрерывность элементарных функций. Классификация точек разрыва. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке.
2.2.1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.
Определение 2.2.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть дана функция |
y = f (x) . |
Рассмотрим два значения ее аргумента |
x и x0 . |
|||||||||
Разность |
x − x0 = |
x |
называется приращением аргумента x |
в точке x0 . |
Разность |
|||||||
у − у0 = f (x) − f (x0 ) = |
y называется приращением функции y = f (x) в точке x0 . |
|||||||||||
Из определения |
следует, |
что |
если |
обозначить |
x − x0 = |
x , |
то x = x0 + x и |
|||||
y = f (x0 + х) − f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение 2.2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = f (x) |
называется непрерывной в точке |
x0 , если она определена в |
||||||||||
некоторой |
окрестности |
точки |
x0 |
и |
lim y = 0 , |
т.е. |
если |
бесконечно |
малому |
|||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
приращению аргумента |
|
x соответствует б. м. приращение функции |
y . |
|
||||||||
Поскольку y = f (x) − f (x0 ) , то |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
lim |
y = lim (f (x) − f (x0 ))= 0 lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
||||||||
|
x→0 |
|
x→х0 |
|
|
|
x→х0 |
|
|
|
||
Таким образом, получаем эквивалентное определение:
Определение 2.2.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y = f (x) |
называется непрерывной в точке |
x0 , если она определена в |
||||||
некоторой |
окрестности |
точки |
x0 |
и |
lim |
f (x) = f (x0 ) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
x→х0 |
|
|
lim f (x) = |
lim |
f (x) = f (x0 ) . |
|
|
|
|
|
|
x→х0 +0 |
x→х0 −0 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Это равенство можно переписать в виде |
lim |
f (x) = f ( lim |
x) , то есть под знаком |
|||||
|
|
|
|
x→х0 |
|
x→х0 |
|
|
непрерывной функции можно переходить к пределу.
Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 2.2.1
Если функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то непрерывны в этой же точке их сумма, произведение и частное (при g(x0 ) ≠ 0 ).
22