- •Раздел 2. Теория пределов и непрерывность функций
- •2.1. Теория пределов
- •2.1.1. Множества на числовой оси
- •Определение 2.1.1
- •Определение 2.1.2
- •Определение 2.1.3
- •Определение 2.1.4
- •Определение 2.1.5
- •Определение 2.1.6
- •2.1.2. Определение предела функции
- •Определение 2.1.7
- •Задача 2.1.1
- •Решение
- •2.1.3. Односторонние пределы
- •Определение 2.1.8
- •Определение 2.1.9
- •Задача 2.1.2
- •Решение
- •2.1.4. Основные теоремы о пределах
- •Теорема 2.1.1. (Единственность предела)
- •Доказательство. (От противного)
- •Теорема 2.1.2. (Предельный переход в неравенстве)
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.4. (О сжатой функции)
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.5. (Первый замечательный предел)
- •2.1.5. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Неопределенности
- •Задача 2.1.3
- •Задача 2.1.4
- •Задача 2.1.5
- •Решение
- •Задача 2.1.6
- •Решение
- •2.1.6. Ограниченные и неограниченные функции
- •Определение 2.1.10
- •Теорема 2.1.6
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.7
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.8
- •Доказательство
- •2.1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (б.м. и б.б.)
- •Определение 2.1.11
- •Теорема 2.1.9
- •Доказательство
- •Определение 2.1.11
- •Свойства б.м. и б.б. функций
- •Теорема 2.1.10
- •Доказательство
- •Теорема 2.1.11
- •Доказательство
- •Следствия:
- •Теорема 2.1.12
- •Доказательство
- •2.1.8. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б)
- •Определение 2.1.12
- •Задача 2.1.7
- •Решение
- •Определение 2.1.13
- •Примеры
- •Свойства эквивалентных б.м.
- •Определение 2.1.14
- •Свойства эквивалентных б.б. функций
- •2.1.9. Главная часть б.м. и б.б. функций
- •Определение 2.1.14
- •Определение 2.1.15
- •Задача 2.1.8
- •Решение
- •Определение 2.1.16
- •Задача 2.1.9
- •Задача 2.1.10
- •Решение
- •2.1.10. Показательные неопределенности
- •Задача 2.1.11
- •Задача 2.1.12
- •Решение
- •2.2. Непрерывность функций
- •2.2.1. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Непрерывность элементарных функций.
- •Определение 2.2.1
- •Определение 2.2.2
- •Определение 2.2.3
- •Теорема 2.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 2.2.1
- •Доказательство
- •Определение 2.2.4
- •2.2.2. Классификация точек разрыва
- •1. Устранимый разрыв
- •2. Неустранимый разрыв первого рода
- •3. Неустранимый разрыв второго рода
- •Задача 2.2.1
- •Решение
- •Задача 2.2.2
- •Решение
- •Задача 2.2.3
- •Решение
- •Задача 2.2.4
- •Решение
- •2.2.3. Непрерывность функций на промежутке. Свойства функций, непрерывных на промежутке
- •Определение 2.2.5
- •Определение 2.2.6
Примеры
1) |
sin x |
~ |
x , так как |
lim |
sin x |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
tg x |
|
x , так как |
|
|
tg x |
|
|
|
sin x |
|
1 |
|
= lim |
|||||||||||||||||||
2) |
~ |
lim |
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
x→0 |
|||||||||||||
3) |
1 −cos x |
~ |
|
x2 |
|
, так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 −cos x |
= lim |
2 sin 2 ( |
x |
) |
|
= lim |
sin 2 ( |
x |
) |
= |
||||||||||||||||||||
|
|
lim |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
x→0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||
sin x |
lim |
1 |
=1 . |
x |
|
||
x→0 cos x |
|
||
|
sin( |
x |
) |
2 |
||||
|
|
|
||||||
lim |
|
|
2 |
|
|
=1. |
||
|
|
|
||||||
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
4) |
arcsin x |
~ x , так |
как lim |
arcsin x |
= lim |
|
|
y |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
y→0 sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5) |
arctg x |
~ x , так |
|
как |
lim |
arctg x |
|
= lim |
|
y |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
y→0 tg y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства эквивалентных б.м. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1. Сумма функций, б.м. |
в точке x0 , |
разного порядка эквивалентна б.м. меньшего |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка, поскольку если β(x) |
– б.м. в точке x0 более высокого порядка, чем α(x) , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для γ(x) = α(x) +β(x) |
справедливо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
γ(x) |
|
|
|
|
|
|
α(x) +β(x) = lim |
|
|
|
β(x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
= lim |
|
1 + |
=1 + 0 =1 , |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→x0 α(x) |
x→x0 |
|
α(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
α(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
то есть α(x) +β(x) ~ |
|
α(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Предел отношения двух б.м. функций в точке |
|
x0 |
не изменится, если числитель и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменатель |
заменить |
|
на |
эквивалентные |
|
им |
б.м. |
функции. |
|
Иначе говоря если |
|||||||||||||||||||||||||||
α(x) ~ α1 (x) |
и β(x) ~ β1 (x) , |
x → x0 , то lim |
α(x) |
|
= |
lim |
|
α1 (x) |
, т.к. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
β(x) |
|
|
|
β1 (x) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
|
α(x) α1 (x) β1 (x) |
|
|
|
|
|
|
α1 (x) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
β(x) |
lim |
α1 (x) |
|
β1 (x) |
β(x) |
= lim |
|
β1 (x) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. Если α(x) ~ α1 (x) |
и β(x) ~ β1 (x) , |
|
|
|
x → x0 , то α(x) β(x) ~ α1 (x) β1(x) , т.к. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim |
|
α(x) β(x) |
|
= lim |
α(x) |
|
|
lim |
β1 (x) |
|
=1. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 (x) |
|
β(x) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x→x0 α1 (x) β1 (x) |
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. Сумма б.м. функций эквивалентна сумме эквивалентных им б.м., если заданная
сумма не является разностью эквивалентных б.м. Например, tg x −sin x |
~/ |
x − x , |
|
x→0 |
|
поскольку ноль является конечным числом, а не бесконечно малой функцией. В этом случае следует разложить заданное выражение на множители, т.е.
|
1 |
−cos x |
|
|
|
|
x2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
tg x −sin x = sin x |
|
~ |
x |
|
= |
|
. |
|||||
|
|
cos x |
|
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|||||
Определение 2.1.14
Пусть U (x) и V (x) – б.б. в точке x0 . Тогда: 17