Прикл математика май 2014 / Методичка по прикладной математике
.pdf
таблицы для метода Эйлера.
Построить графики решений, полученных разными методами, используя функции
ВСТАВКА ТОЧЕЧНАЯ ДИАГРАММА ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ КРИВЫМИ и ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ ДОБАВИТЬ.
21
Скопировать на тот же лист результаты вычислений, повторить решение
дифференциального уравнения при n 20.
22
23
Задание 4. Элементы регрессионного анализа. Метод наименьших квадратов
Дана таблица значений величин x и y .
x |
1,92 |
2,01 |
2,95 |
3,57 |
3,72 |
4,17 |
4,21 |
5,64 |
6,85 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1,93 |
1,67 |
1,08 |
0,95 |
0,51 |
0,63 |
0,75 |
0,07 |
0,09 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.Методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии. На координатной плоскости построить точки, соответствующие исходным данным и график линейной регрессии
2.Оценить величину регрессионной зависимости с помощью коэффициента детерминации.
3.Оценить значимость уравнения регрессии при уровне значимости 
0,05.
4.Используя средства Excel найти уравнения нелинейной регрессии: квадратичной,
экспоненциальной, логарифмической, степенной.
5.По максимальному коэффициенту детерминации найти наилучшее уравнение регрессии.
Основная цель регрессионного анализа состоит в определении связи между некоторой величиной y и величинами x1, x2 , ...,xm , которые влияют на значение y .
Переменная |
y называется зависимой переменной (откликом), влияющие переменные |
x1, x2 , ...,xm |
называются факторами (регрессорами). Установление формы зависимости, |
подбор модели (уравнения) регрессии и оценка ее параметров являются задачами регрессионного анализа.
Взависимости от числа взаимосвязанных величин различают парную и
множественную регрессию. Если исследуется связь между двумя величинами, то регрессия называется парной, если между тремя и более величинами – множественной
(многофакторной) регрессией.
Пусть задана таблица значений величин x и y .
x |
x1 |
|
x2 |
|
… |
|
xk |
|
… |
xn |
y |
y1 |
|
y2 |
|
… |
|
yk |
|
… |
yn |
Задача |
парной регрессии |
состоит в |
получении аналитического |
выражения |
||||||
функциональной |
зависимости |
|
y F(x) : |
|
определении |
вида |
функции |
|||
|
|
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
F(x) F(x, a0 , a1, ...,am ) , ее параметров a0 , a1 ,...,am |
( m |
n) |
и последующего |
||||||||||||
статистического исследования уравнения регрессии y |
F(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
В зависимости от вида функции F(x) |
различают линейную и нелинейную регрессию |
||||||||||||||
(квадратичная, экспоненциальная, логарифмическая и т.д.). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Предположение о виде |
зависимости можно сделать, построив на координатной |
||||||||||||||
плоскости точки (xk , yk ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры функциональной |
зависимости |
|
F(x) |
F(x, a0 , a1, ...,am ) |
определяют, |
||||||||||
используя метод наименьших |
квадратов. Наилучшими |
|
значениями |
параметров |
|||||||||||
a0 , a1, ...,am будут те, для которых сумма отклонений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a , a ,...,a |
m |
) |
(F(x |
k |
, a , a ,...,a |
m |
) |
y |
k |
)2 |
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принимает наименьшее значение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя необходимые условия экстремума для функции |
, получим систему |
||||||||||||||
уравнений для определения параметров a0 ,a1,...,am . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
0
a0
0
a1
...
0
am
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
2 |
(F(x |
|
, a , a ,...,a |
|
) |
y |
|
) |
|
0 |
|||
k |
m |
k |
|
||||||||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
a0 |
|
|
|||
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
2 |
(F(x |
|
, a , a ,...,a |
|
) |
y |
|
) |
|
0 |
|||
k |
m |
k |
|
||||||||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
a1 |
|
|
|||
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
2 |
(F(xk , a0 , a1 ,...,am ) |
yk ) |
|
|
0 |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
am |
|
|||||||||||
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если эта система имеет единственное решение a0 ,a1,...,am , то оно будет искомым.
Линейная регрессия
Будем искать функциональную зависимость в виде F(x) ax b , где a – коэффициент регрессии. В этом случае сумма квадратов отклонений
n
(a,b) 
(axk b yk )2 . Для
k 1
определения неизвестных параметров a и b нужно решить систему:
n
2 (axk b yk )xk 0
k 1 n
2 (axk b yk ) 0
k 1
25
После преобразований система примет вид
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
a |
x2 |
b |
x |
k |
x |
k |
y |
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
k 1 |
k |
1 |
|
k 1 |
|
|
(4.1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
a |
xk |
bn |
yk |
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
k |
1 |
|
|
|
Можно показать, что эта система имеет единственное решение. При полученных |
||||||||||
значениях a и b функция |
(a, b) будет иметь минимум. |
|||||||||
Направление связи между величинами |
x и |
|
y определяется на основании знака |
|||||||
коэффициента |
регрессии |
a . |
Если знак при коэффициенте регрессии положительный, |
|||||||
связь между |
x и y будет |
положительной. |
Если |
знак при коэффициенте регрессии |
||||||
отрицательный, то связь является отрицательной (обратной).
Для анализа общего качества уравнения регрессии используют коэффициент
детерминации R2 :
|
|
|
n |
|
|
yT )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( y |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|||
R2 |
1 |
|
ki 1 |
|
|
|
|
|
|
|
yT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
ax |
b, |
|
y |
y |
|
(4.2) |
||||||||
|
n |
|
|
|
k |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
n k 1 |
|
||
|
|
|
( y |
k |
|
y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ki 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
R2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент детерминации R2 показывает, на |
сколько процентов ( R2 |
100% ) |
||||||||||||||||||
найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями |
x и y . |
|||||||||||||||||||
Соответственно, |
величина 1 R2 |
показывает, на сколько процентов изменения величины |
||||||||||||||||||
y обусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель. |
|
|||||||||||||||||||
Если |
значение |
|
R2 близко к |
единице, |
это |
означает, |
что построенная |
модель |
||||||||||||
(уравнение регрессии) объясняет почти всю изменчивость соответствующих величин. И
наоборот, если значение R2 близко к нулю, то это означает плохое качество построенной модели.
Оценка значимости |
уравнения линейной регрессии осуществляется с помощью |
|||||
|
|
n |
( yT |
y)2 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
k |
|
|
|
F-критерия Фишера: |
F |
k |
1 |
|
|
(n 2) . |
n |
|
|
||||
|
|
|
y)2 |
|||
|
|
|
( y |
k |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
При условии справедливости нулевой гипотезы о том, что уравнение регрессии
статистически незначимо ( |
H |
0 |
: |
R2 0 ), критерий имеет распределение Фишера с числом |
|
|
|
|
|
степеней свободы k1 1, k2 |
|
n |
2 . |
|
|
|
|
|
26 |
Критическое значение Fкр определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости 
Fкр F( , k1, k2 ) . Fкр - это максимально возможное
значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и
уровне значимости . Уровень значимости |
- вероятность отвергнуть правильную |
гипотезу при условии, что она верна. Обычно |
принимается равной 0,05 или 0,01. |
Фактическое значение F-критерия можно вычислить и по формуле
|
|
Fнабл |
|
|
R2 |
(n 2) |
|
|
1 |
R2 |
|||
|
|
|
|
|||
Если F |
F |
, то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент детерминации R2 |
||||
набл |
кр |
|
|
|
|
|
считается статистически значимым (найденное уравнения регрессии статистически
надежно). Если Fнабл |
Fкр , то нулевая гипотеза принимается, и признается статистическая |
|||||||||||||||||||
ненадежность уравнения регрессии. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
На листе Exсel написать название темы, ввести исходные данные |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1. |
Для определения коэффициентов линии регрессии F(x) ax b решить систему |
|||||||||||||||||||
|
(4.1) матричным способом: |
|
|
|
X |
A 1B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
n |
x2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
x |
k |
|
|
|
|
|
|
|
x |
k |
y |
k |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Здесь X |
, |
A |
k |
1 |
k 1 |
|
, |
A |
1 |
- обратная матрица, B |
k |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
b |
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
xk |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yk |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
Для этого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
Заполнить вспомогательную таблицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
x |
|
|
y |
k |
x2 |
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и найти суммы значений по столбцам, используя автосумму или функцию СУММ.
2)Построить матрицу A коэффициентов при неизвестных размерности 2 2 и
матрицу-столбец свободных членов B , размерности 2 1
3)Найти обратную матрицу A 1 . Для этого выделить область размером 2 2 и
воспользоваться функцией:
Функция Математические МОБР. Для вывода всей таблицы нажать сначала F2, а затем одновременно CTRL+SHIFT+ENTER.
4)Найти столбец коэффициентов функции F(x) , умножив полученную обратную матрицу на столбец свободных членов ( A 1B ). Для этого выделить область размером 2 1 и воспользоваться функцией:
27
Функция Математические МУМНОЖ. Для вывода всей таблицы нажать сначала F2, а затем одновременно CTRL+SHIFT+ENTER.
5) На диаграмме построить точки (xk , yk ) , соответствующие исходным данным. Для этого выделить таблицу исходных данных и далее использовать функции
ВСТАВКА ТОЧЕЧНАЯ ДИАГРАММА ТОЧЕЧНАЯ С МАРКЕРАМИ.
6) Построить |
таблицу значений и |
график функции F(x) . Т.к. функция |
F(x) |
||
линейная, достаточно вычислить ее значения для |
x1 и |
xn , и построить график |
|||
функции, |
используя функции |
РАБОТА |
С |
ДИАГРАММАМИ |
|
КОНСТРУКТОР ВЫБРАТЬ ДАННЫЕ. Далее, выделив полученные точки,
ИЗМЕНИТЬ ТИП ДИАГРАММЫ ДЛЯ РЯДА ТОЧЕЧНАЯ С ГЛАДКИМИ
КРИВЫМИ.
Результаты вычислений можно оформить, например, следующим образом
2. Вычислить коэффициент детерминированности R2 :
|
n |
|
yT )2 |
|
( y |
k |
|
|
|
k |
|
R2 1 |
ki 1 |
|
|
n |
|
|
( yk y)2
ki 1
28
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
Вычислить y |
yср |
yk , |
используя |
для этого, например, функцию |
||||||||||||
n k |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
СРЗНАЧ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
Заполнить вспомогательную таблицу |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
k |
xk |
|
|
yk |
|
ykT axk |
b |
(yk ykT )2 |
(yk y)2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти суммы значений в двух последних столбцах столбцам и вычислить значение R2 .
3. Найти критическое значение |
Fкр |
критерия |
Фишера для уровня значимости |
0,05и степеней свободы k1 |
1, k2 |
9 2 |
7, используя функцию FРАСПОБР, |
R2
и фактическое значение Fнабл 1 R2 (n 2) . Сделать вывод о статистической надежности уравнения регрессии.
4.1) По исходным данным построить четыре диаграммы с точками (xk , yk ) ,
соответствующими исходным данным. Для этого выделить таблицу исходных данных и далее использовать функции ВСТАВКА ТОЧЕЧНАЯ ДИАГРАММА
ТОЧЕЧНАЯ С МАРКЕРАМИ.
29
2)На первой диаграмме построить линию квадратичной регрессии, выполнив операции РАБОТА С ДИАГРАММАМИ МАКЕТ ЛИНИИ ТРЕНДА
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА, выбирая из
возможных вариантов линии тренда ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ (степень 2),
показывая |
на |
диаграмме |
уравнение |
линии |
и |
коэффициент |
детерминированности R2 .
3)На остальных диаграммах аналогично построить экспоненциальную,
логарифмическую и степенную линию регрессии, показывая на диаграммах уравнение линии и коэффициент детерминированности R2 .
30