Прикл математика май 2014 / Методичка по прикладной математике

Если

f (xn )

, , то печатаем «корень уравнения = » и найденное значение

m

корня x xn ;

в противном случае печатаем, например, «продолжаем поиск корня»

Для следующего шага итерации в ячейке А31 размещаем формулу для вычисления

предыдущей строки.

Затем все формулы распространяются вниз до получения

приближенного значения корня уравнения.

Метод касательных

Пусть x - единственный

корень

уравнения

f (x)

0 , который находится

на

отрезке [a,b]. Функция

f (x) удовлетворяет следующим условиям:

f (a) f (b)

0 ;

производные f (x)

и

f (x)

функции,

f (x)

непрерывны и сохраняют

постоянные знаки на отрезке [a,b].

Общая формула метода касательных имеет вид

x

x

f (xn 1 )

,

n

1, 2, ...

(1.2)

n 1

n

f

(xn 1 )

В качестве

x0

нужно

взять

тот

конец

отрезка [a,b], для которого знак функции

f (x) совпадает со знаком

ее

второй

производной f (x) .

Для оценки погрешности, как и в

методе хорд,

используется неравенство

x

xn

f (xn )

,

m

Рис.2

где

m

min

f (x)

x [a,b]

Найдем

корень уравнения 2x

x2 3, принадлежащий отрезку

[4,5; 5],

с

точностью

0,001.

Решая уравнением методом хорд,

мы показали, что функция

f (x)

2x

x2

3

4

dx

Вычислить определенный интеграл

по формулам прямоугольников,

x4 5

1

Пусть

функция

f (x)

непрерывна

на

отрезке [a;b] и требуется

вычислить

b

определенный интеграл

f (x)dx . Если известна первообразная F(x) , то

a

b

f (x)dx F(b) F(a)

a

Если

аналитический

вид

функции

f (x) не

известен (например,

она задана

таблично) или найти элементарную первообразную F(x)

невозможно или она сложна для

вычислений, то используют формулы численного интегрирования.

b

Определенный интеграл

f (x)dx равен

площади криволинейной

трапеции,

a x0 x1

x2

... xn 1

xn b

xi 1

xi

h

b

a

n

1.

Формулы прямоугольников

Площадь

Si

i -ой

элементарной

криволинейной

трапеции

приближенно

можно заменить площадью прямоугольника

с основанием [xi ; xi 1 ] и высотой

yi

f (xi ) (

xi

- левая граница отрезка):

Si

h yi .

Тогда

b

f (x)dx

h ( y0

y1 ...

yn 1 )

(2.1)

a

Рис.4

(формула левых прямоугольников)

Если площадь Si i -ой элементарной

криволинейной трапеции

приближенно

заменить

площадью

прямоугольника с

основанием [xi ; xi 1 ] и высотой

yi 1

f (xi 1 )

( xi 1 - правая граница отрезка), то

b

f (x)dx h

(y1

y2 ...

yn 1

yn )

(2.2)

a

(формула левых прямоугольников)

Рис.5

Погрешность формул правых и левых прямоугольников

M1

b a

h ,

где M

max

f (x)

2

1

a x b

площадью

прямоугольника

с

высотой

y

1

f x

1

, где

x

1 -

середина

отрезка

i

i

i

2

2

2

[xi ; xi 1 ].

Тогда

b

f (x)dx h

y1

y

1 ...

y

1

(2.3)

a

1

n

2

2

2

Рис.6

(формула центральных прямоугольников)

Погрешность формулы центральных прямоугольников

M2

b a

h2 ,

где M

2

max

f (x)

24

a x b

14

На

листе Excel разместим

исходные

данные:

подынтегральную функцию

f (x)

1

и границы промежутка интегрирования

a

1, b 4

x4

5

Пусть n

10. Найдем значение h

по формуле

h

b

a ,

построим таблицу значений

n

аргумента

x на отрезке [a;b] с шагом h и соответствующих значений функции f (x) .

Построим таблицу значений середин интервалов дробления [xi ; xi 1 ] при n 10:

x1

a

h

;

x

1

x1

h ; … и соответствующих значений функции y

1

f x

1 .

2

1

i

i

2

2

2

2

2

I I *

,

(в процентах),

I *

где I - значение определенного интеграла,

вычисленное по какой-либо приближенной

формуле.

Отрезок [0;1]разбить на n 10 и n 20 частей.

Сравнить решения, полученные разными методами, построив графики решений,

полученных разными методами для n 10 и

n 20

Дано уравнение y f (x, y) на отрезке

[a;b] с начальным условием y(a) y0 .

численный метод дает искомое решение

в виде

таблицы

значений решения y(x) ,

найденных для аргумента, меняющегося с шагом h .

Разобьем отрезок [a;b] на n равных частей точками x0 ,

x1 ,

x2 , …, xn , где

x0 a , x1

x0

h ,

x2

x1

h, …, xi 1

xi

h ,

xn

b ,

h b

a

- шаг интегрирования

n

1.

Метод Эйлера

Искомое решение y(x) получим в виде таблицы значений, которые вычисляются

по формулам

y1

y0

hf (x0 , y0 ) ,

y2

y1

hf (x1, y1) , …,

yn

yn 1

hf (xn 1 , yn 1 )

Общая итерационная формула Эйлера имеет вид

yi 1

yi

hf (xi , yi ) ,

i

0,1, ...,n

1

(3.1)

Для данного уравнения

a

x0

0,

b

xn

1,

y0

1,3,

f (x, y)

cos y

3x

Следовательно,

yi

1

yi

h(cos yi

3xi )

2.

Исправленный метод Эйлера

Решение y(x) получим в виде таблицы значений. Общая итерационная формула

исправленного Эйлера имеет вид

y

y

h (k

k

2

) ,

i

0,1, ...,n

1,

(3.2)

i 1

i

2

1

где

k1

f (xi , yi ) ,

k2

f (xi

h, yi

hk1 )

Для данного уравнения k1 и k2

будут вычисляться по формулам

k1

cos yi

3xi ,

k2

cos(yi

hk1 ) 3(xi

h)

3. Метод Рунге-Кутты четвертого порядка

Решение y(x) получим в виде таблицы значений

y

y

h

(k

2k

2

2k

k

4

) ,

i 0,1, ...,n

1

(3.3)

i 1

i

6

1

3

где

k1

f (xi , yi ) ,

h

h

k2

f xi

2

, yi

2 k1

h

h

,

k4

f (xi

h, yi

hk3 )

k3

f xi

2 , yi

2 k2

Для данного уравнения

k

cos y

3x

,

k

cos y

h k

3 x

h

,

1

i

i

2

i

2

1

i

2

k

cos y

h k

3 x

h ,

k

cos(y

hk ) 3(x

h)

3

i

2

2

i

2

4

i

3

i

уравнение, отрезок интегрирования [a;b] , начальное значение

y(a)

y0 , количество

отрезков разбиения n

10 , формулу расчета шага интегрирования h

b

a .

n

Метод Эйлера.

Записать название метода. Построить таблицу значений аргумента

x и значений функции y1(x)

(решения дифференциального уравнения), найденных по

формулам (3.1) метода Эйлера. Таблица может иметь вид

i

x

y1(x)

y2 (x)

k

k

1

2

y2 (x)

k

k

k

3

k

1

2

4

При вычислениях значений k1 ,

k2 ,

k3 И k4

значения аргумента x можно брать из

20