Прикл математика май 2014 / Методичка по прикладной математике

Кафедра высшей математики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

и контрольные задания по курсу «Прикладная математика»

для студентов – заочников направлений

190600.62 - Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

2014

М е т о д и ч е с к и е у к а з а н и я к онтрольные задания по курсу «Прикладная

математика»/ сост. И.Н. Шоренко.- Санкт-Петербург, СПбГАУ, 2014, с.

Приведены краткие сведения и формулы по темам «Численные методы» и «Статистические методы обработки опытных данных». На примере типовых заданий рассмотрены способы реализации численных методов и методов обработки опытных данных средствами Microsoft Excel. Приведены контрольные задания для самостоятельного решения.

Предназначены для студентов-заочников 3-го курса направлений

«Агроинженерия» и «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов»,

изучающих дисциплину «Прикладная математика».

Составитель: канд. техн. наук И.Н. Шоренко

Рецензент

Шоренко И. Н., 2012

ФГБОУ ВПО СПбГАУ,

2012

.

2

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНРЙ РАБОТЫ

Основной формой обучения студентов-заочников является самостоятельная работа над учебным материалом. Учебный материал следует изучать в той последовательности,

которая приведена в методических указаниях. После изучения теоретических вопросов надо перейти к разбору решенных в методических указаниях заданий. Затем можно

переходить к решению соответствующей задачи из контрольного задания.

Выполненное контрольное задание должно быть напечатано на листах формата А4. На обложке должна быть указана фамилия студента, направление обучения, номер группы, шифр (номер зачетной книжки), номер варианта, фамилия преподавателя,

который проверяет задание.

При выполнении контрольных заданий следует учесть следующие рекомендации:

необходимо указывать номер задания и полностью записывать его условие;

решения заданий надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях;

решение всех задач сопровождать при необходимости пояснениями, ссылаясь на положения теории.

На зачете студент должен представить выполненное задание и в электронном виде.

После получения прорецензированной работы студент обязан выполнить все указания рецензента и исправить ошибки. Исправленная контрольная работа должна быть направлена на повторное рецензирование.

В тех случаях, когда студент при изучении теории или решении задач встретит

затруднения, которые самостоятельно разрешить не сможет, он может обратиться за консультацией на кафедру высшей математики СПбГАУ.

Студент выполняет тот вариант контрольного задания, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.1, если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или нуль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2.

3

4

Задание 1. Численные методы решения нелинейных уравнений

1. Аналитически и графически способом определить количество корней уравнения

2x x2 3 и интервалы, на которых корни расположены.

2.Вычислить какой-либо корень уравнения с точностью до 0,001 методами:

половинного деления, хорд, касательных.

промежуточные значения xi и xi 1 , для которых функция f (x) примет значения разных знаков. Выберем начальное a и конечное b значения аргумента x с учетом

В ячейку А8 копируем начальное значение a , в ячейках B9 и C9 разместим формулы для вычисления значений функций f (x) и f (x) . В ячейке А10 запишем формулу для вычисления следующего значения аргумента, в ячейки B10 и C10 копируем формулы из ячеек B9 и C9. В ячейке D10 поместим проверку условия существования корня с помощью функции ЕСЛИ:

если f (xi ) f (xi 1 ) 0,

то печатаем «корень находится на интервале» и интервал (xi 1 , xi ) ,

в противном случае печатаем пробел.

Процесс копирования формул А10:D10 нужно продолжить до конца интервала

(значения b ), на котором хотим проверить наличие корней уравнения. Если на

5

выбранном интервале [a,b] корни не найдены, то меняем значения a и b . Значения a

и b нужно подобрать так, чтобы все корни уравнения находились на интервале [a,b] .

3.Для получения более наглядного представления о функции f (x) построим ее график на интервале [a,b]. Выделим ячейки А8:В29 и выполним операции Вставка → Точечная диаграмма → Точечная с гладкими кривыми. Значения x , при которых

график функции f (x) пресекает ось ОХ, является корнем уравнения f (x) 0 .

Для рассматриваемого уравнения 2x x2 3 0 видно, что уравнение имеет единственный корень, который находится на отрезке [4,5; 5].

6

2.Вычисление корней уравнения

Метод половинного деления

на интервале [4,5; 5] с точностью до 0,001.

1.В ячейках А4 и В4 разместим исходные данные – границы отрезка [a,b], на котором находится корень уравнения и допустимую погрешность (D4).

2.В ячейки А7 и В7 помещают ссылки на исходные данные, в ячейке С7 вычисляется

противном случае « корень не найден». Для вычисления модуля разности b a

используется функция ABS.

3.В ячейках А8 и В8 из отрезков [a,c] и [c,b]выбирается тот, на концах которого функция f (x) имеет значения разных знаков:

если значения f (a) и f (c) одного знака ( f (a) f (c) 0 ), то значение a

заменяем на c , в противном случае a оставляем без изменения;

если значения f (b) и f (c) одного знака ( f (b) f (c) 0 ), то значение b

заменяем на c , в противном случае b оставляем без изменения.

В ячейки C8:G8 копируем содержимое ячеек C7:G7.

4.Формулы А8:G8 распространяются вниз до получения ответа.

8

Метод хорд

Пусть x - единственный корень уравнения f (x) 0 , который находится на отрезке [a,b]. Функция f (x) удовлетворяет следующим условиям:

1.Оформим процедуру вычисления на листе Excel: укажем название метода, уравнение,

интервал [a; b] на котором находится корень уравнения, погрешность. Преобразуем

9

3.Введем исходные данные для вычислений ( x0 , c , f (c) , m ) и построим таблицу, в

которой по формуле (1.1) будут вычисляться последовательные значения xn и

оцениваться их погрешности.

10