1.11. Расчет трехшарнирной арки (задача № 3)

Для трехшарнирной арки с очертанием оси по квадратной па­раболе (рис. 1.25, а) необходимо:

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора;

2. Определение внутренних усилий М_K , Q_K и N_K в сечении K-K от нагрузок P и q, аналитически;

3. Построить линии влияния изгибающего момента М_K , попе­речной силы Q_K и продольной силы N_K для сечения K-K;

4. Вычислить величины М_K , Q_K и N_K по линиям влияния от заданной нагрузки P и q и сравнить их со значениями, определен­ными аналитически (п.2 задания).

Решение

1. Определение вертикальных опорных реакций и распора

Предварительно необходимо начертить строго в масштабе рас­четную схему оси арки, ординаты которой должны быть вычислены по ее уравнению:

.

В нашем случае:

при z_K = 2 м,   y_K = м;

при z = 4 м, ,   y = м;

при z = 6 м, ,   y = м; и т.д.

Вертикальные опорные реакции V_A, V_B и горизонтальные опор­ные реакции (распор) H_A и H_B вычисляем из уравнений равовесия системы. В данном примере имеем:

кН;

, кН;

, кН;

S z = 0,   H_A - H_B = 0,     H_A = H_B = 14 кН.

Для проверки правильности определения опорных реакций сос­тавим следующие неиспользованные уравнения равновесия систе­мы:

,

22 - 2×8 - 40 + 34 = 0,     56 - 56 = 0,     0 = 0;

,

-34×8 + 14×8 + 40×4 = 0,     -272 + 112 + 160 = 0,     0 = 0.

Уравнения тождественно удовлетворяются. Следовательно, вер­тикальные опорные реакции и распор определены верно.

2. Определение внутренних усилий мk , qk и nk возникающих в сечении k-k от нагрузок q и p, аналитически

Внутренние усилия М_K , Q_K и N_K , возникающие в заданном сечении от нагрузок q и P, вычисляем по формулам (1.18), (1.22), (1.23) соответственно:

,

, (1.24)

,

где ,- изгибающий момент и поперечная сила в сеч. K-K двухопорной балки с пролетом, равным пролету трехшарнирной арки и загруженным той же нагрузкой; y_К - ордината оси трех­шарнирной арки в сечении K-K; j_К - угол наклона касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K.

При этом правило знаков для М и Q принимаем такое же, что и в балках, а для продольной силы N в арочных системах поло­жительным принято считать сжатие.

В рассматриваемом примере:

;

;

м.

Подставим найденные значения , , cosj_K , sinj_K  и y_K в формулы, получим величины внутренних усилий, возникающих в сечении K-K от нагрузок q и P:

кН×м;

кН;

кН.

3. Построение линий влияния мk , qk и nk

В рассматриваемом примере все линии влияния строим спосо­бом нулевых точек.

Линии влияния внутренних усилий M_K, Q_K и N_K могут быть получены сложением известных линий влияния балочных момен­тов и балочных поперечных сил, а также линии влияния распораН, умноженных на соответствующие коэффициенты выра­жений (1.18), (1.22), (1.23), что приводит к простым правилам по­строения линий влияния внутренних усилий в арках.

Ввиду того, что все слагаемые в этих формулах представлены кусочно-линейными функциями, определим абсциссы тех точек, в кторых ординаты линий влияний влияний равны нулю. Эти точки называются нулевыми.

Очевидно, что к их числу относятся опорные точки шарнирной арки. Далее предположим, что при действии единичного груза Р = = 1 в точке, принадлежащей арке с абсциссой z_OM (см. рис. 1.25, а), вектор равнодействующих всех внешних сил, действующих в части системы, расположенной левее точки K, проходит через эту точку, тогда, очевидно, что изгибающий момент в сечении K в этом слу­чае будет равен нулю. Для определения величины z_OM, воспользуясь геометрическими соображениями (рис. 1.25, а), имеем:

,

откуда:

.

Далее предположим, что, если единичная сила Р = 1 будет рас­положена в точке, принадлежащей арке, с абсциссой z_OQ, а вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих левее сечения K, параллелен касательной оси арки, проходящей через точку K, то поперечная сила в этом сечении будет равна нулю. Из рис. 1.25, а, имеем:

,

откуда:

.

Для определения нулевой точки линии влияния N_K , нужно оп­ределить абсциссу точки приложения единичной силы Р = 1, при котором нормальная внутренняя сила в сечении K равна нулю. Следовательно, нам необходимо определить такую точку приложе­ния единичной силы Р = 1, при котором общий вектор равнодейст­вующей всех сил, расположенных левее сечения K, имеет направле­ние параллельное нормали оси арки, проведенной через сечение K (рис. 1.25, а). Таким образом:

,

откуда:

.

3.1. Построение линий влияния M_K . Линию влияния изгибающего момента M_K для сечения K-K строим в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки О линии влияния M_K на ее оси абсцисс. Для этого проводим на схеме трехшарнирной арки прямые АK и ВC и точку пересечения их (О) сносим по вертикали на ось абсцисс линии влияния (точка О на рис. 1.25, б).

Расстояние этой точки от левой опоры находим по формуле

м,

где .

2. Зная положение нулевой точки О, проводим прямую линию, соединяя точку О с концом ординаты h = z_K = 2 м, отложенной вверх от оси абсцисс по вертикали, проходящей через опору А. 

3. На проведенную прямую МО и ее продолжение сносим по вертикалям сечение K-K и средний шарнир С (точки К и С'). Отре­зок прямой КС' является средней прямой линии влияния.

4. Соединяя точку К с нулевой ординатой под опорой А, а точку С' с нулевой ординатой под опорой В, получаем левую (АК) и правую (C'В) прямые линии влияния M_K .

Построенная таким образом линия влияния M_K показана на рис. 1.25, б.

3.2. Построение линии влияния Q_K . Эту линию влияния строим также способом нулевых точек в следующем порядке:

1. Определяем положение нулевой точки линии влияния Q_K . Для этого проводим из точки А прямую, параллельную касательной к оси трехшарнирной арки в сечении K-K, до пересечения с пря­мой, соединяющей точки В и С (рис. 1.25, а), а затем точку их пе­ресечения О₁ проектируем на ось абсцисс линии влияния (рис. 1.25, в). Полученная точка О₁ и является нулевой точкой линии влияния Q_K . Расстояние ее от левой опоры определяем по формуле

м.

2. Откладываем на левой опорной вертикали положительную ординату h = cos j_K  = 0.555 (отрезок AD) и проводим прямую DO₁.

3. Через нулевую ординату под опорой А (точка А) проводим прямую АN, параллельную DO₁.

4. На параллельные прямые AN и DO₁ проектируем сеч. K-K (точки Е и F) и получаем левую прямую AF линии влияния. Если прямая DO₁ не пересекается с вертикалью, проходящей через сред­ний шарнир С, продолжаем прямую DO₁ до пересечения с этой вертикалью и получаем точку C^¢¢. Соединив точку C^¢¢ c нулем под опорой В (точка В), получим правую прямую (C^¢¢В) линии влияния Q_K . Прямая линия, соединяющая точки Е и C^¢¢, является средней прямой линии влияния Q_K , а прямая EF носит название соедини­тельной прямой линии влияния Q_K .

3.3. Поcтpоение линии влияния N_K . Линию влияния N_K  cтpоим также cпоcобом нyлевых точек в cледyющем поpядке.

1. Hyлевyю точкy О₂ линии влияния N_K  находим как пpоекцию на оcь абcциcc линии влияния точки пеpеcечения пpямой, пpове­денной из точки А пеpпендикyляpно каcательной к оcи аpки в cечении K-K (АО₂), c пpямой, пpоведенной чеpез пpавyю опоpнyю точкy В и cpедний шаpниp C (pиc. 1.25, а, г).

Hа pиc. 1.25, г нyлевая точка О₂ pаcположена за пpеделами дан­ного чеpтежа. Раccтояние этой точки от левой опоpы опpеделяем по фоpмyле

м,

где l = 16 м;

2. Откладываем ввеpх на левой опоpной веpтикали оpдинатy h = sinj_K = 0.832 (отpезок АL). Cоединив точкy L c нyлевой точкой

O₂ пpямой линией и пpодолжив ее (еcли это необходимо) до пеpе­cечения c веpтикалью, пpоходящей чеpез cpедний шаpниp (т. C'''), полyчаем пpямyю LC'''O₂. В нашем пpимеpе точка О₂ находитcя пpавее опоpы А на pаccтоянии 48 м от нее и поэтомy на чеpтеже не показана (рис. 1.25, г).

3. Чеpез нyль опоpной веpтикали (точка А) пpоводим линию, паpаллельнyю пpямой LC'''O₂.

4. Hа эти паpаллельные пpямые пpоектиpyем cечение K-K (точки T и S). Полyченная пpямая AS ноcит название левой пpя­мой, TS - cоединительной пpямой, а отpезок пpямой TC''' - cpед­ней пpямой линии влияния N_K .

5. Cоединив точкy C''' c нyлем под пpавой опоpой, полyчаем пpавyю пpямyю (пpямая C'''В) линии влияния N_K .