Строительная механика / Учебник СМ Саргсян / П22-12

M_ДОП = s_T  W=, (9.10)

откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:

, (9.11)

где W - момент сопротивления поперечного сечения балки. Для прямоугольного сечения W = где b,h - размеры поперечного сечения (рис. 9.3, б).

Таким образом, при расчете балки (рис. 9.3, а) по теории до­пускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, оп­ределяется по:

. (9.12)

Однако, очевидно, что при Р =, вычисленной по формуле (9.12), заданная балка далеко не исчерпала свою несущую способ­ность. При увеличении нагрузки, пластические деформации прони­кают вглубь сечения, вплоть до появления в нем пластического шарнира, т.е. состояния сечения, при котором все ее точки пере­шли в пластическое состояние. В пластическом шарнире момент достигает предельной величины, когда эпюра нормальных напря­жений во всех точках в опасном сечении принимает значение s_T  (рис. 9.3, б).

Рис. 9.4

Согласно диаграмме дефор­мирования материала по Пран­дтлю, продольные волокна бал­ки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие де­формации. В этих условиях можно говорить о формирова­нии пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис. 9.4). Это означает, что с возникновением пластического шарнира про­исходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. задан­ная система разрушается. Величину силы, вызывающую образова­ние в балке пластического шарнира, называют предельной си­лой метода предельного состояния.

Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного се­чения балки:

, (9.13)

откуда получим:

. (9.14)

Величина W_T =называется пластическим моментом сопро­тивления, значения которого в случае прямоугольного сечения бы­ло определено в п. 8.3.

Если сравнить величину предельной силы, определенной по методу допускаемых напряжений и по методу предельного равно­весия, то получим, что .

Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предвари­тельно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.

В таблице 9.1 приведены значения отношения W_T/W для неко­торых стандартных форм сечений.

Таблица 9.1

Форма сечения
	1.0	1.16	1.27	1.50	1.70	2.00

9.4. Расчет статически неопределимых балок по предель­ному состоянию. Кинематический и статический способ

При расчете статически определимой балки было установлено, что ее несущая способность исчерпается, когда, хотя бы в одном, т.е. в наиболее опасном сечении пластическая область заполняет все сечение, т.е. когда в этом сечении образуется пластический шарнир и система становится геометрически изменяемой.

Для статически неопределимых балок образование одного плас­тического шарнира не приводит к исчерпанию несущей способнос­ти, т.к. в этом случае степень кинематической определимости сис­темы снижается на одну единицу. В случае n раз статически неоп­ределимой балки исчерпание несущей способности происходит при формировании n + 1 пластических шарниров. Однако в ряде случа­ев часть балки может стать геометрически изменяемой при значи­тельно меньшем числе пластических шарниров.

Рис. 9.5

Например, в статически многократ­но неопределимой балке с консолью (рис. 9.5), несущая способность задан­ной системы исчерпается в случае во­зникновения первого же пластического шарнира над крайней правой опорой.

Для расчета статически неопределимых систем по теории пре­дельного равновесия можно воспользоваться одним из двух спосо­бов - кинематическим или статическим.

При применении кинематического способа, в предельном сос­тоянии составляется уравнение работы всех внешних и внутренних усилий на основе принципа возможных перемещений. Этот принцип формулируется так: если система твердых тел находится в равновесии под действием системы сил, то работа, совершаемая этими силами на любом малом возможном перемещении системы, должна быть равна нулю.

Рис. 9.6

При применении статического способа при отсутствии упругого расчета, на основе которого, предварительно можно опре­делить наиболее вероятную схему разрушения конструкции, зада­ются различные схемы разрушения предельной стадии работы рас­сматриваемой системы, и для каждой из них составляются уравне­ния равновесия и определяют­ся предельные значения внеш­них сил. Из их числа, наи­меньшая является расчетной величиной предельной силы.

Из числа рассмотренных схем разрушения, на основа­нии которых определяется пре­дельная сила, является наибо­лее вероятной схемой, разру­шения конструкции.

Рассмотрим несколько ха­рактерных примеров для определения предельной нагрузки для статически неопределимых балок, принимая диаграмму растяже­ния-сжатия материалов без упрочнения, т.е. диаграмму Прандтля (см. рис. 8.3, в).

Пусть трехопорная балка (рис. 9.6, а) нагружена силой величи­ной Р. Эта балка один раз статически неопределимая. На рис. 9.6, б изображена эпюра изгибающих моментов, при упругой стадии де­формирования. Для решения этой задачи применим статический способ.