4. Составление матpицы влияния попеpечных сил для всех участков балки

Матрицу влияния поперечных сил для всех участков балки можно было бы составить аналогично матрице влияния момен­тов, т.е. с помощью эпюр Q, построенных от последовательного за­гружения балки во всех точках деления на участки сосредоточенной силой P = 1.

Учитывая, что поперечная сила Q и изгибающий момент M связаны дифференциальной зависимостью которая для дискретных систем выражается формулойматри­цу влияния поперечных сил можно получить путем умножения матрицы влияния моментов на матрицу перехода от матрицы влияния моментов к матрице влияния поперечных сил.

На основании дифференциальной зависимости между Q и M матрица перехода будет иметь вид:

.

Получим матрицу влияния поперечных сил

L_Q = K_QM L_M =

5. Определение векторов изгибающих моментов и поперечных сил

Векторы (матрицы-столбцы) изгибающих моментов и попереч­ных сил могут быть определены с помощью матриц влияния мо­ментов и поперечных сил по формулам: M = L_M P и Q = L_Q P. Получим эти векторы от вектора нагрузки P, характеризующей данную систему (п.2):

6. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Компонентами вектора моментов М являются величины изги­бающих моментов в соответствующих сечениях балки от нагрузки, полученной в п.2. Откладывая эти величины в масштабе от базис­ной линии в соответствующих сечениях балки (рис. 1.18, г), полу­чим эпюру изгибающих моментов (на участках, где действует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).

Рис. 1.19

Для построения эпюры моментов от заданной нагрузки следует полученную эпюры на каждом из участков, где действует распреде­ленная нагрузка, сложить с эпюрой моментов от распределенной нагрузки в пределах одного участка, если рассматривать этот учас­ток как самостоятельную балку на двух шарнирных опорах (см. рис. 1.18, а, б).

Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 1.18, д.

Компонентами вектора попе­речных сил Q являются величины поперечных сил на соответству­ющих участках балки (постоянные по величине в пределах каждого участка) от нагрузки, полученной в п.2. Откладывая эти величины в масштабе от базисной линии на соответствующих участках балки (рис. 1.18, е), получим эпюру по­перечных сил (на участках, где дей­ствует распределенная нагрузка, эта эпюра показана пунктиром).

Для построения эпюры поперечных сил от заданной нагрузки следует проделать с полученной эпюрой Q ту же операцию, что и с эпюрой М.

Эпюра поперечных сил для отдельного участка, загруженного распределенной нагрузкой, показана на рис. 1.19, в. Эпюра попе­речных сил для заданной балки показана на рис. 1.18, е.

7. Построение линии влияния изгибающего момента в сечении 2

Обозначим элемент матрицы влияния L_M через m_ij. Первый индекс i означает номер сечения, в котором определяется изги­бающий момент, второй индекс j означает номер точки, где при­ложена единичная сила P_i = 1.

Таким образом, матрица L_M будет иметь следующий вид:

.

Рассмотрим столбец этой матрицы с номером j. По построению и по логике расстановки индексов элементы этого столбца явля­ются ординатами эпюры моментов от действия единичной силы в точке j. Выделим теперь строку матрицы L_M с номером i. У элемен­тов этой строки первый индекс одинаков, следовательно, это чис­ленное значение изгибающего момента в сечении i. Второй индекс меняется от 1 до 10, следовательно, m_ij - это значения изгибающего момента в сечении i от действия единичной силы, меняющей свое положение. Другими словами, любая строка матрицы содержит значения ординат линии влияния момента в соответствующем се­чении балки.

Следовательно, строка матрицы L_M, соответствующая сечению 2 (вторая сверху), содержит ординаты линии влияния М₂. Отклады­вая эти ординаты в масштабе от базисной линии, получим линию влияния М₂. Линия влияния показана на рис. 1.18, ж.