II.18.7. Определение предельного состояния системы при растяжении-сжатии

Для статически определимой системы, в элементах которой возникают лишь продольные усилия, расчеты на прочность по допускаемым напряжениям и по предельным нагрузкам дают один и тот же результат. Результаты аналогичных расчетов статически неопределимой системы различны.

В качестве примера рассмотрим систему, представляющую собой абсолютно жесткую балку, с одним концом шарнирно опертую, и подвешенную на трех одинаковых идеально упруго-пластических подвесках, длинойl, площадью поперечного сеченияF, модулем упругости материалаЕ, при заданной схеме нагружения силойР(рис.II.18.1,а). Заданная система дважды статически неопределима.

По мере роста силы P, подвески 1, 2, 3 поэтапно будут переходить в пластическое состояние, причем напряжения в каждой подвеске не могут превышать.

Выделим следующие стадии деформирования заданной систе­мы.

Первая стадия: все подвески работают упруго. Для опре­деления реакций в подвесках составляем уравнения равновесия:

. (II.18.1)

Для определения величин усилий в подвесках N₁, N₂и N₃необходимо составить еще два уравнения совместности. Учитывая, что балка абсолютно жесткая и деформации в подвесках пропорциональны возникающим в них усилиям, то из условия подобия треугольниковADD',ACC'иABB'(рис.II.18.1), имеем:

откуда

(II.18.2)

Тогда из (II.18.1) с учетом (II.18.2) опре­деляются реакции во всех подвесках:

(II.18.3)

Вторая стадия: при некотором значении P, как это следует из (II.18.3), сначала наиболее нагруженная первая подвеска, переходит в пластическое состояние, то есть(рис.18.1,б). При этом из (II.18.2) можно установить, что в остальных подвесках усилия будут равны:

;. (II.18.4)

Подставляя значения усилий в уравнение равновесия (II.18.1), получим:

,

откуда и определим величину внешней силы Р, при котором система переходит во второе состояние:

. (II.18.5)

Рис. II.18.1

Третья стадия: при дальнейшем росте значения силыP, как это следует из (II.18.3), и вторая подвеска переходит в пластическое состояние, то естьN₁ =N₂ =(рис.II.18.1,в). При этом, из третьего соотношения (II.18.3), значение усилия в третьей подвеске будет равно:

. (II.18.6)

Из уравнения равновесия (II.18.1), с учетом значения усилий в подвесках в третьем состоянии, получим:

. (II.18.7)

Четвертая стадия - предельное состояние: в этом состоянии усилия во всех трех подвесках равны своему предельному значению, т.е.(рис.II.18.1,г). Уравнение равновесия (II.18.1), при этом принимает вид:

, (II.18.8)

откуда и определяется предельная величина внешней силы:

. (II.18.9)

Далее определим перемещение f_i балки в точке приложения внешней силыPв различных стадиях работы заданной системы.

При переходе заданной системы от первого стадии деформирования ко второму, имеем:

;.

При переходе заданной системы от второй стадии к третьей, имеем:

;.

И наконец, при переходе системы от третьей стадии к предельному состоянию, получим:

.

Рис. II.18.2

Зависимость fотPпоказана на рис.II.18.2. Она изображается ломаной линией, которая после предельного равновесного состояния становится горизонтальной, то есть после того, как напряжения достигнут предела текучести во всех трех подвесках. Откуда следует, что при постоянной, пе­ремещениеfбеспредельно возрастает, т.е. происходит разрушение системы.

Как видно из приведенного примера, расчет даже для такой простой системы оказывается довольно громоздким, хотя он дает возможность находить не только предельную силу, но и описать поведение конструкции в процессе ее нагружения. На практике, при расчете систем с учетом пластических деформаций рассматривают только предельное состояние.