I.18.2. Упруго-пластический расчет стержня при действии продольной силы

Рис. I.18..2

Определить перемещение сечения Аступенчатого стержня изображенного на рис.17.2,апри различных стадиях его деформирования при нагружении его силой Р. Диа­грамма деформирования изображена на рис.I.18..2,б.

Решение:

В данном случае все составляющие тензо­ра напряжений и деформаций за исклю­чением s_хиe_хтождественно равны нулю. При этом участокАСиспытывает растяжения, а участокАВ-сжатие.

Следует выделить следующие этапы работы конструкций.

На первом этапе, участки АСиАВдеформируются в упругой стадии, т.е.:

при. (I.18..8)

На втором этапе, один из участков АВилиАСпереходит в упруго-пластическую стадию деформирования. И, наконец, когда оба участкаАВиАСдеформируются в упруго-пластической стадии.

Связь между s_хиe_хв упруго-пластической стадии деформирования согласно диаграммеs~eзаписывается в виде:

при. (I.18..9)

На первом этапе нагружения, когда в обоих участках материал конструкции деформируется по закону Гука, учитывая, что система один раз статически неопределима усилия Nобоих участков опре­деляется обычными приемами. Из условий равновесия имеем:

-N₁+N₂=P. (I.18..10)

Учитывая, что стержни верхним и нижним концами жестко закреплены, его абсолютное удлинение должно быть равно нулю, т.е.:

,

откуда

. (I.18..11)

В результате совместного рассмотрения (I.18..10) и (I.18..11) получим:

(I.18..12)

Перемещение сечения Абудет следующим:

. (I.18..13)

В упругой стадии работы конструкции значения напряжения на первом и втором участках соответственно принимают значения:

. (I.18..14)

Так как , то соотношения (I.18..12¸I.18..14) будут справедливы до тех пор, пока напряжения на первом участке не достигнет значения.

Из выражения (17.14), принимая , определяем величину силыР, при которой нижний участок с номером I переходит в пластичное состояние, а верхний участок с номером II остается упругим:

. (I.18..15)

Для второго этапа нагружения, необходимо преобразовать уравнения совместности деформаций:

. (I.18..16)

Выражение (I.18..9) представим в виде:

. (I.18..17)

Тогда

. (I.18..18)

Подставляя (I.18..18) в (I.18..16) получим:

. (I.18..19)

Совместно решая (I.18..19) с уравнением равновесия (I.18..10) полу­чим:

(I.18..20)

Принимая в (I.18..20)Е=Е₁, можно убедиться, что из (I.18..20) следуют упругие решения (I.18..14).

Перемещая сечения Ана данном этапе нагружения определяется по формуле:

. (I.18..21)

Переходим к решению поставленной задачи на третьем этапе нагружения. Принимая из второго выражения (I.18..14) определим значения внешней силы при которой второй участок переходит в пластическую стадию деформирования:

, откуда. (I.18..22)

На третьем этапе нагружения, т.е. абсолютное удлинение второго участка определяется:

. (I.18..23)

Подставляя (17.23) и (17.18) в (17.16) получим:

. (I.18..24)

В результате совместного рассмотрения (I.18..24) и (I.18..10) определяется:

. (I.18..25)

Принимая Е=Е₁из (I.18..25) получим решение задачи в упругой постановке, которая полностью согласуется выражением (I.18..12). Перемещение сеченияАна третьем этапе нагружения определяется по выражению:

Если в последнем варианте предположить Е=Е₁, то отсюда следует решение в упругой постановке задачи, и полностью совпа­дающей с решением (I.18..13).