1.7. Законы сохранения, переноса субстанций и термодинамического равновесия. Материальные и энергетические балансы

Каждая научная дисциплина базируется на определенном теоретическом фундаменте, обладает единой методологией и логической последовательностью изложения материала.

Теоретическим фундаментом дисциплины «Энергетика технологических процессов в АПК» являются следующие основные законы:

1. Законы сохранения массы, энергии и импульса допускают только такие превращения, при которых суммы массы, энергии и импульса внутри системы остаются неизменными (т.е. конечная сумма равна сумме в начальном состоянии). Законы сохранения принимают форму уравнений балансов (например, материального и теплового), составление которых является важной частью анализа энергоемкости технологических процессов.

2. Законы термодинамического равновесия определяют условия, при которых процесс переноса любой субстанции (массы, энергии, импульса) приходит к своему завершению. Состояние системы, при котором необратимый перенос субстанции отсутствует, называют равновесным. Равновесное состояние описывается такими законами, как законы Генри, Рауля и др. Знание условий равновесия позволяет решать очень важные для анализа и расчета технологических процессов задачи - определение направления процесса пере­ носа (из какой фазы в какую переходит субстанция, перераспределение энергетических потоков) и границ его течения, расчет движущей силы процесса.

3. Законы переноса массы, энергии и импульса определяют плотность потока любой из этих субстанций в зависимости от градиента сопряженного с ней потенциала переноса, т. е. от удельной, отнесен­ной к единице объема потока массы, энергии или импульса. Потен­циалом переноса в случае переноса массы является плотность ()или концентрация (С), переноса энергии - энтальпия (c_pt), переноса импульса - количество движения единицы объема жидкости (w).

Таким образом, законы переноса определяют интенсивность протекающих технологических процессов и в конечном сче­те – энергоемкость продукции.

Перечисленные законы составляют теоретическую основу анализа энергоэффективности всех технологических процессов - гидромеханических, тепловых и массообменных.

Закон сохранения массы

В покоящейся системе законы сохранения массы и энергии озна­чают, что внутри системы они могут превращаться, оставаясь в совокупности неизменными. Если система состоит из нескольких компонентов n и одной фазы Ф, то при отсутствии химических взаимодействий по закону сохранения массы сумма масс всех компонентов должна быть равна массе всей системы, т.е.

М₁ + М₂+ ... + М_n = M, =M (1.3)

Если система состоит из нескольких компонентов (m) и одной фазы Ф, то сумма масс должна быть равна массе всей системы, т.е.

М_ф1 + М_ф2 + ... + М_Фт = М, = М (1.4)

Из последнего выражения закона сохранения массы следует, что чем больше станет масса одной фазы, тем меньше будет масса другой, но сумма масс всех фаз останется неизменной. С помощью рассмотренных выше двух предельных случаев можно получить балансовые уравнения для каждого компонента и каждой фазы, участвующих в процессе.

Обычно в технологических процессах все вещества нахо­дятся в движении или, как принято говорить, в потоке. Под потоком понимают перемещение какой-либо среды в пространстве. Наиболее часто приходится иметь дело с кон­вективными потоками, которые характеризуются движением мно­жества частиц под действием какой-либо силы из одного места пространства в другое. Если конвективный поток отнесен к единице площади, через которую он перено­сится, то говорят о плотности конвективного потока. Плотность потока яв­ляется вектором, на­правление которого совпадает с направлением движения потока; размерность плотности потока [д] = [ед. количества/(м²-с)].

Для характеристики любой системы достаточно трех потоков: массы (или компонента), теплоты (или энтальпии) и импульса.

Законы сохранения массы, энергии и импульса обычно рас­сматривают совместно. Поэтому и подход к составлению балансов этих субстанций должен быть идентичным.

Материальный баланс

По веществам, участвующим в технологическом процессе, материальные балансы различают сле­дующим образом:

• общий по всему веществу (брутто – баланс);

• частный – для одного компонента (например, баланс кислорода, углерода, водорода и т.д.).

Материальный баланс должен включать в себя столько уравне­ний, сколько компонентов в перерабатываемом веществе.

По иерархической структуре производства материальные ба­лансы подразделяют на следующие виды:

• части аппарата (т.е. части элемента процесса);

• аппа­рата (т. е. всего элемента про­цесса);

• установки (т.е. части производства);

• всего произ­водства – от сырья до готового продукта (т.е. участка цеха, цеха или не­скольких цехов); многих производств (т.е. комбината);

• отрасли АПК.

Рис. 1.4. К составлению материальных и энергетических балансов

На основе материального баланса определяют выход продукта по сравнению с теоретически возможным (в %), а также количество (массу) получаемых продуктов в единицу времени. Согласно закону сохранения, масса (количество) поступающих на переработку веществ должна быть равна массе веществ, по­лучаемых в результате проведения процесса.

Например, на вход в аппарат поступают компонента А, В и С (рис. 1.4.), а на выходе из аппарата имеем компоненты D и F. Для этого аппарата уравнение материального баланса можно записать

или

(1.5)

В практических условиях при проведении технологического про­цесса происходят необратимые потери вещества G_n (например, со сточными водами или газовыми выбросами, через неплотности аппаратуры и т. п.), поэтому мате­риальный баланс в общем случае принимает вид

m_H = m_K + m_{накропл.} (1.6)

Для нестационарных процессов материальный баланс имеет несколько иной вид, так как потоки, направленные внутрь рас­сматриваемого объема (приход), и потоки, направленные наружу (расход), могут быть не равны (например, про­исходит накопление массы), т.е.

Приход — Расход = Накопление,

или m_H - m_K = m_{накропл} (1.7)

Для стационарных процессов правая часть выражения (5) равна нулю, и без учета потерь оно приобретает вид уравнения (3).

Материальный и энергетический балансы в макрообъемах (на­пример, в аппарате) при взаимодействии, например, двух фаз для тепло- или массо­переноса будут зависеть от их относительного движения.

Температуры (для теплопереноса) или концентрации (для массопере­носа) потоков на выходе из аппаратов могут сущест­венно различаться, напри­мер, для прямоточного (рис. 1.5,а; 1.7,a) и противоточного (рис. 1.5,б; 1.7,б) движения потоков при одних и тех же их значениях (начальных температур и концентра­ций) на входе в аппа­раты. Следовательно, изменяются значения движущих сил процесса, и, как следствие, изменяется энергоемкость получаемой продукции.

Проиллюстрируем это положение на примере теплового процесса в рекупе­ративном теплообменнике (пример1) и массобменного процесса абсорбции (пример 2).

Пример 1. Наиболее распространенные виды относитель­ного движения потоков в теп­ловом процессе представлены на рис. 1.5.

При изменении агрегатного состояния температура теплоносителя не изменяется (рис.1.6), т.к. теплота расходуется на изменение агрегатного состояния. При этом дви­жущая сила теплового процесса также остается неизменной. Критерий фа­зового пре­вращения представляет отношение теплоты, расходуемой на изменение агрегатного состояния вещества к теплоте перегрева или охла­ждения одной из фаз относи­тельно температуры фазового превраще­ния:

, (1.7)

где r–теплота парообразования; с – удельная теплоемкость;- раз­ность температур ме­жду температурой фазового перехода и темпера­турой одной из фаз.

Рис. 1.5. Взаимное направление движения потоков в аппаратах:

а -прямоток; б – противоток

Рис.1.6. К определению движущей силы теплового технологического

процесса при

Среднюю разность температур рассчитывают по формулам

, если

или

, если

где и- максимальная и минимальная разность температуры теплоносителей;- среднеарифметическая разность температур;- среднелогарифмическая разность температур.

Для теплового расчета рекуперативного теплообменника используют следующие основные уравнения:

а) уравнение теплового баланса

Q₁ = Q₂ + Q_ПОТ (1.8)

или в развернутом виде для однофазных теплоносителей

;

если греющим теплоносителем является сухой насыщенный водяной пар

,

б) уравнение теплопередачи

Q=K∆tF

В формулах (№№) –(№№) Q₁– тепловой поток, отдаваемый горячим теплоносителем в единицу времени, Вт;Q₂ – тепловой поток, получаемый холодным теплоносителем в единицу времени, Вт;Q_ПОТ – тепловой поток потерь в окружающую среду – в данной задаче принимается равным нулю, Вт;G₁иG₂– массовые расходы горячего и холодного теплоносителей, кг/с;и- удельные массовые изобарные теплоемкости горячего и холодного теплоносителей, Дж/(кг·К);и- температура горячего теплоносителя на входе и выходе из теплообменника, ̊ С;и- температура холодного теплоносителя на входе и выходе из теплообменника.

Пример 2.Рассмотрим установившийся процесс поглощения газа жид­костью (абсорб­цию), например, поглощение аммиака водой из аммиачно–воздушной смеси (рис. 1.7) при ус­ловии отсутствия пере­мешивания фаз по высоте аппарата. Количество компонента (ам­миака), переходящего из газовой фазы в жидкую

M = M₁=G(y- ) = L(x -x) (1.14)

где G иL-расходы соответственноинертного газа и жидкости, кмоль/с; yи-концен­трации компонентов газа на входе в аппарат и выходе из него, кмоль/кмоль инертного газа;xиx - концентрации компонента в жидкостина входе в аппарат и выходе из него, кмоль/кмоль инертной жидкости.

а

б

Рис. 1.7. К выводу уравнений материа­льного баланса и рабочей линии про­цесса (на примере абсорбции): а - противоток; б - прямоток

Для того чтобы получить связь между текущими концен­трациями в фазах, запишем материальный баланс для верх­ней части аппаратов (сечение 1-1, рис. 4, а):

Lx_H + Gy = Lx + Gy, или

y = (L/G)x + [y_K - (L/G) x_H (1.15)

Поскольку L/G=const,aвторой член правой части уравнения (7) также является посто­янной величиной, получим

у = Ах + В, (1.16)

где А = L/G -тангенс угла наклона прямой линии;В– отрезок, отсекаемый на оси ординат прямой линией.

Уравнение (1.16) описывает связь рабочих концентраций ком­понента в потоках, обычно его называют уравнением рабочей линии.

Для прямоточного движения потоков уравнение рабочей линии получают по аналогии с предыдущим случаем:

у=-Ах + В. (1.17)

Уравнение (1.17) отличается от (1.16) знаком перед коэффициен­том А. На рис. 1.7, а и 1.7,б по­строены линии рабочих концентра­ций по уравнениям (1.16) и (1.17), которые в дальнейшем, после рассмотрения условий равновесия систем, позволяют подойти к определению движущих сил процессов переноса массы и энергетических потоков, необходимых для реализации технологического процесса.

Закон сохранения энергии

Из первого закона термодинамики может быть сформулировано выражение закона сохранения энергии: внутренняя энергия U изоли­рованной от внешней среды системы постоянна, т. е. U = const. Тогда

dU= . (1.18)

В уравнении (10) величины теплоты Q и производимой рабо­ты А харак­теризуют не систему, а процессы ее взаимодействия с окружающей средой, поэтому они не являются полными диффе­ренциалами. Переход системы из одного энергетического состояния в другое характеризуется новым значе­нием внутренней энергии U, так как U меняется на определенную величину независимо от пути перехода.

Уравнение (10) без большой ошибки может быть использовано в качестве закона сохранения теплоты.

Энергетический баланс

Для определения энергоемкости техно­логических процессов необходимо определить расход энергии на его проведение. Чтобы определить расход теп­лоты, составляют тепловой баланс как часть общего энергетического баланса. Тепловой баланс составляют для многих процессов, протекающих в теплооб­менных аппаратах, массообменных аппаратах (перегонка жидкостей, сушка и т.п.).

По аналогии с материальным балансом тепловой баланс в об­щем виде вы­ражается следующим образом:

или

, (1.19)

где Σ Qвx – теплота, поступающая в аппарат с исходными компонента­ми;

Q – дополнительная теплота_. подводимая к аппарату от внешних источников (например с помощью встроенного калорифера); Σ Q_вых – теплота, уходящая из аппарата; Q_n – тепловые потери.

На рис. 1.8 приведены примеры нагревания жидкости в аппара­тах идеального вытеснения и идеального смешения.

В аппарате идеального вытеснения температура жидкости плавно изменяется по длине аппарата l от начальной t_н до конечной t_K, так как текущие в аппарате объемы жидкости вытесняют друг друга, не смешиваясь.

В аппарате идеального смешения поступающая жидкость прак­тически мгновенно смешивается с находящейся в аппарате, поэтому начальная темпе­ратура t_H жидкости в таком аппарате мгновенно изменяется до конечной t_K.

Средняя разность температур t_cp при условии сохранения начальных темпе­ратур нагреваемой жидкости t_н и греющего пара t_a (средняя движущая сила процесса) в аппарате идеального вытес­нения выше, чем в аппарате иде­ального смешения. Следовательно, и количество переданной при этом теп­лоты в аппарате идеального вытеснения больше, т. е. Q_{K выт} > Q_{K смеш}

Тепловой баланс для обоих случаев идентичен:

Q+Q =Q +Q , (1.20)

но значения величин, входящих в уравнение (1.20), различны. Поэтому при со­ставлении тепловых балансов часто приходится принимать модель, по которой работает данный аппарат (идеаль­ное вытеснение, идеальное смешение и т. д.).

Помимо расхода теплоты, энергетический баланс позволяет определить расходы кинетической и потенциальной энергии на проведение процесса (пре­мешивание жидкостей, транспортирование газов и т.д.).

Рис. 1.8. Конструктивные схемы и температурные графики теплообменников:

а – идеального вытеснения; б - идеального смешения.

Основные уравнения переноса субстанций

Выделим в жидкости, находящейся в движении, произвольный объем V, ог­раниченный поверхностью S. Объем V жидкости распо­ложен в неоднородном поле физического потенциала переноса . Задача сводится к выводу дифферен­циальных уравнений, описы­вающих распределение скоростей, концентраций и температур во времени и пространстве, что необходимо для решения многих задач гидродинамики, тепло- и массообмена. Если объемные силы кон­серва­тивны, т. е. не изменяются во времени, то их можно заменить потенциалом пе­реноса.

Потенциал переноса представляет собой удельную (отнесенную к единице объема) массу, энергию или количество движения. В слу­чае переноса массы в качестве потенциала переноса рассматривают плотность () или концентра­цию (С):

==или=C=, (1.21)

где – масса i-го компонента смеси; [] = [С] = [кг/м³].

В случае переноса энергии (теплоты) потенциалом переноса является эн­тальпия единицы объема жидкости:

= c_ptV/V=c_pt, (1.22)

где с_р– теплоемкость среды; [c_pt] = [Дж/м³].

В гидродинамических процессах потенциалом переноса является количество движения (импульса) единицы объема жидкости:

= wV/V=w, (1.23)

где [w] = [кг/(м²-с)].

В рассматриваемом объеме жидкости существуют источни­ки потенциала переноса, характеризующиеся удельной объемной плотностью притока , т.е. скоростью притока энергии [] = [Дж/(м³-с)], массы [] = [кг/(м³ с)] или импульса [] = [кг/(м² с)] в единице объема.

Процессы тепло – и массопереноса через рассматриваемую по­верхность S осуществляются двумя видами механизма переноса:

1) молекулярным, т. е. переносом, возникающим в результате стрем­ления системы к термодинамическому равновесию, отклонения от которого объясня­ются неоднородностью поля потенциала;

2) мак­роскопическим – конвективным переносом, вызванным наличием по­ля скоростей жидкости в объеме V. В случае переноса количества движения (импульса) к указанным двум видам переноса добав­ляется также перенос, вызванный наличием поля гидростатического давления, а при переносе теплоты – перенос за счет теплового излучения.

Поток субстанции, вызванный стремлением системы к термо­динамическому равновесию (молекулярный перенос), определяется хаотическими перемещениями молекул среды, переносящих массу, энергию и импульс и тем самым ус­редняющих потенциал в рассматриваемом объеме. Молекулярный перенос яв­ляется опреде­ляющим в неподвижных средах и в ламинарно движущихся по­токах и описывается следующими известными линейными градиентными зако­нами:

• для переноса массы – первым законом Фика:

= - D gradC, (1.24) где D - коэффициент молекулярной диффузии, м²/с.

• для переноса энергии (теплоты) – законом Фурье:

= –grad t, (1.25)

где – коэффициент теплопроводности.

• для переноса импульса (с учетом закона внутреннего трения Ньютона):

=–grad . (1.26)