Лекция №2С-2 Сопротивление материалов
.pdf
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Инженерно-строительный институт Кафедра сопротивления материалов
ЛЕКЦИЯ № 2С-2
Чистый сдвиг. Кручение стержней
Сопротивление материалов
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет
2014
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014 ©
Напряженное состояние чистого сдвига
•По граням элемента действуют только касательные напряжения
x 0 |
y 0 |
xy yx |
Главные площадки и главные нормальные напряжения
1,3 max,min |
|
1 |
( x |
y) |
( x y)2 4 2xy |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1,3 |
|
1 |
(0 0) |
(0 0)2 |
4 2xy xy |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2
Направление главной оси x0 (первого главного напряжения) определяется
как:
tg2 0 2 xy
x y
отсюда |
|
|
2 xy |
|
|
tg2 |
0 |
|
|
||
(0 0) |
|||||
|
|
|
0 4
Главные напряжения при чистом сдвиге действуют по площадкам, нормали которых наклонены к оси x под углом τ/4.
Главные напряжения σ1 и σ3 (растягивающее и сжимающее) равны по модулю касательному напряжению τxy
3
Деформация элемента при чистом сдвиге
•Рассмотрим начальный контур элемента материала в виде квадрата ABCD и конечный контур
A1B1C1D1
•У начального и конечного контура совпадают направления диагоналей – главные напряжения 1 и 3.
Относительную деформацию вдоль первой главной оси вычисляем
двумя способами:
x E1 x y z
x1 12( x y) 12( x y)cos2 12 xy sin2
4
Деформация элемента при чистом сдвиге
Относительную деформацию вдоль первой главной оси вычисляем двумя способами:
|
1 |
1 |
1 |
2 3 |
1 |
xy 0 xy |
1 |
xy |
|
|||||||||||||||
|
E |
E |
E |
xy |
||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
0 0 |
1 |
0 0 cos2 |
|
|
|
1 |
xy |
sin2 |
|
|
|
1 |
xy |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
2G |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
• В итоге получаем |
1 |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
E |
|
2G |
||
2 1 G E
Из трех упругих постоянных E, G, μ для изотропного линейного упругого материала независимыми являются лишь две.
На практике экспериментально находят две какие-либо величины, третью вычисляют.
5
КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
Схема скручивания прямого стержня кругового сечения двумя парами сил, приложенными в плоскостях концевых сечений.
При этом
•стержень остаётся прямым,
•концевые сечения поворачиваются на угол φ, оставаясь параллельными,
•прямая образующая линия АВ становится винтовой линией АВ1.
6
ОПЫТНЫЕ ДАННЫЕ И ГИПОТЕЗА ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Сетка с квадратными ячейками на поверхности стержня.
Искажение сетки при кручении. Квадратные ячейки превращаются в ромбы. Следовательноб) , имеем деформацию и напряжённое состояние чистого сдвига.
Гипотеза плоских сечений:
все поперечные сечения остаются плоскими, радиусы в сечениях остаются прямыми.
7
Крутящий момент. Эпюра крутящего момента
Кручение – деформация, возникающая в результате действия пары сил образующих момент М, действующих в плоскости
поперечного сечения стержня.
dA
Стержень нагружен внешним моментом М. Рассматриваем равновесие отсеченной части. В рассматриваемом сечении возникают только касательные силы упругости, лежащие в плоскости поперечного сечения.
Мx – момент внутренних сил, возникающих в поперечном сечении (крутящий момент).
8
•Результирующий момент элементарных моментов касательных сил упругости – крутящий момент.
m(x) 0 |
M x M 0 |
M x M |
Крутящий момент равен алгебраической сумме моментов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения стержня.
Крутящий момент – положительный, если движение со стороны оси x происходит против часовой стрелки.
Крутящий момент – отрицательный, если движение со стороны оси x происходит по часовой стрелки.
9
Касательные напряжения и угол закручивания
Вектор элементарной силы направлен dA перпендикулярно радиусу , проведенному в точку, около которой выделена
элементарная площадкаdA
Элементарный момент dMx силы dA относительно оси x равен dA
Полный момент внутренних сил
M Mx A dM A dA
10