Прямой метод формирования матрицы проводимости.

Для узла 1:

Для узла 2:

Или в матричном виде:

То есть матрица А:

1	2
Y1	-Y1
-Y1	Y1

Лекция №8 Узловой анализ схем с комплексными коэффициентами.

При частотном анализе схем удобно в качестве переменных состояния выбирать амплитудные значения потенциалов узлов.

Вид узлового потенциала (согласно законам Кирхгофа) для цепи, содержащей чисто пассивные элементы:

(1).

Где А – матрица ициденции, [Y] – матрица проводимости.

Напоминание: Комплексная величина.

Входное синусоидальное колебание , этот сигнал можно представить в виде:

.

Введем комплексную амплитуду.

,

либо в виде .

То есть амплитуды токов и напряжений можно представить в виде:

Если в схеме присутствуют емкости и/или индуктивности, то узловое уравнение будет содержать комплексные переменные.

Рассмотрим:

То есть

Таким образом, в матричном виде уравнения будут иметь вид:

А матрица проводимостей будет иметь вид

Очевидно, что размерность всех матриц выросла вдвое.

(1) примет теперь вид:

Первое уравнение - вещественные условия,

Второе уравнение - чисто мнимые уравнения.

Перепишем в более компактном виде:

=

Частотный анализ нелинейных схем. Метод гармонического баланса.

Рассмотрим

Ток через нелинейный элемент и его проводимость зависят от токов и напряжений на них.

(2)

Периодичное синусоидальное напряжение, проходя через нелинейный элемент (НЭ) искажается, то есть на выходе НЭ появляется набор гармоник. Аналогичное утверждение справедливо и для тока.

Обратное преобразование Фурье данного утверждения имеет вид:

Прямое преобразование Фурье:

, то есть это функция от всех гармоник.

Таким образом, выражение (2) можно представить как:

Число гармоник бесконечно, но так как это быстро убывающий ряд, то обычно рассматривают не более чем M гармоник.

На основе данных уравнений производят частотный анализ схемы – это метод гармонического баланса.

Узловое уравнение с нелинейными коэффициентами.

Вид узлового уравнения:

,

где матрица проводимости есть матрица, элементы которой являются зависимыми от гармоник. Таким образом, получаем:

То есть число уравнений возросло до числа гармоник.

Метод решения нелинейных алгебраических уравнений – метод простых итераций.

Рассмотрим на примере одного уравнения (а не системы):

Уравнение вида представим как:

Графический метод решения:

Задавшись начальным значением и производя итерации, мы будем приближаться к решению (с заданной точностью).

Главная проблема – угадать Н.У. Однако, этот метод не всегда сходится.

Критерий сходимости:

Применяют так же метод Ньютона:

Разложим в ряд Тейлора:

Где – есть Якобиан, который имеет вид:

где

Лекция №9.

Формирование нелинейных уравнений с2м-полюсником. Формирование 2м-полюсников.

2М-полюсник:

В состав многополюсника (2М) входят все нелинейные элементы (L, C, R) и независимые источники (тока и напряжения).

То есть схема формируется так, что к 2М-полюснику подключены нелинейные элементы, а сам 2М-полюсник состоит из исключительно линейных элементов.

Для данной схемы, М – число нелинейных элементов. (Число выводов соответственно равно 2М).

Далее необходимо заменить все нелинейные элементы источниками тока и напряжения.

Будем обозначать все независимые источники тока и напряжения как:

Все зависимые источники будем обозначать как:

Из электротехники нам известна теорема наложения:

В линейных схемах токи и напряжения независимых источников вносят свой вклад в токи и напряжения всех элементов схемы.

Это означает, что если в схеме есть независимый источник, то в выражениях для всех элементов схемы будет присутствовать пропорциональная зависимость переменных от них.

В матричном виде 2М-полючник:

[H] – матрица коэффициентов,

–независимые источники, – источники внутри 2М-полюсника.

Или, если пересчитать внутренние (внутри 2М-полючника) источники ко входам Н.Э., то это выражение примет вид:

При U_a =0 и I_a =0

То есть режим, когда U_a =0 соответствует режиму К.З, а I_a =0 режиму Х.Х.

При U_a =0 и I_a =0, так же и .

То есть для определения и необходимо исследовать схему в режимах Х.Х (холостой ход) и К.З. (короткое замыкание).

Для определения матрицы [H], необходимо:

.

Правила определения этой матрицы:

1. E =0, =0 для всех входов и выходов, кроме последнего.

2. Все входы источника напрямую закорочены, а все выходы с источника тока разорваны, кроме исследуемого входа.

Структура матрицы [H]:

. Знак «–» свидетельствует об отдаваемой энергии.

Y – матрица проводимостей.

k_y – матрица коэффициентов усиления.

k_U – матрица коэффициентов по напряжению.

Z – матрица сопротивлений.