Временной анализ нелинейных схем.

Любая схема, содержащая нелинейный элемент, называется нелинейной. Функция описывающая математическую модель схем, в общем виде (для линейных схем) имеет вид:

,

где – переменные составляющие,– их производные.

Дискретная модель в общем виде имеет вид:

, то есть в конкретный момент времени, производная заменяется на функцию .

Для нелинейных схем:

Ток в каком-либо узле есть нелинейная функция , гдеi и U – ток и напряжение в установившемся режиме.

Линеаризация нелинейных схем. Разложим функцию в ряд Тейлора относительно точкиUk:

, где

U_k – значение в известной точке, R – члены разложения высших порядков.

Отбросим члены разложения высших порядков получим линейную модель

Поскольку мы пренебрегли членами высших порядков разложения, то решение не будет точным.

Суть метода заключается в том, что при .

Докажем это предположение:

Пусть имеется нелинейное уравнение , представим его в виде ряда Тейлора:

выражаем :

.

Воспользуемся графическим методом решения:

Тогда ,

очевидно, .

При приближаемся кx. Этот метод носит название – метод Ньютона линеаризации нелинейных уравнений.

Замечание: метод сходится всегда, если начальные условия заданы близко к исходной точке.

Определение производных в сложных функциях.

Сложная функция, пример:

.

Сложная функция в общем виде:

.

Производная этой функции имеет вид:

, (1)

Найдем величину :

,

– коэффициентk- коэффициент по амплитуде,i– коэффициент по времени. (Так как решаем относительно текущего момента времени, то ).

В простейшем случае .

То есть (1) имеет вид:

.

Пример:

, вычислим производную:

.

Линеаризация системы нелинейных уравнений.

Пусть рассматривается функция вида:

.

Многомерное разложение в ряд Тейлора:

Математическая модель схемы описывается системой дифференциальных уравнений:

(2)

Обозначим:

, а

То есть математическая модель схемы имеет вид:

(3).

Разложим (3) в ряд Тейлора:

,

–множество частных производных появившихся при многомерном разложении в ряд Тейлора.

Более подробно :

Эта матрица производных называется якобиан.

Лекция №5 Алгоритмические модели схем во временной области.

Математическая модель схемы имеет вид:

, то есть это система дифференциальных нелинейных уравнений.

Для описания данной модели в компьютере необходимо произвести алгеброизацию (замену производных на линейную функцию), а так же линеаризацию (разложение в ряд, с целью линеаризирование нелинейных функций).

В результате линеаризации (см. прошлую лекцию) получили:

Это линеаризированная модель схемы. Произведем алгброическое ппреобразование получим решение.

,

Этот метод носит название Ньютона - Рафсона.

Недостаток метода алгоритмизации Ньютона - Рафсона – присутствие в алгоритме операции обращения матрицы Якоби .

Представим (1) как:

.

Это метод Ньютона Бройдена - представляет собой систему линейных алгебраических уравнений с правой частью (и в отличие от предыдущего метода никаких обратных матриц!).

Таким образом, этот метод дает решение нелинейной системы дифференциальных уравнений в определенный момент времени, то есть на самом деле формулы имеет вид:

При реализации метода задаются следующие величины:

1. , где h – шаг дискретизации по времени, - начальные условия,M – порядок полинома.

2. Вычисляется: , то есть находятся коэффициенты системы и вычисляются ее правая часть.

3. Решаем систему (2), находим .

4. Производим контроль результата. (То есть, сверяем точность): , где– число точек на временном интервале,– модуль, либо среднеквадратичное значение разности.

Если получилось, что    _{допустимое}, то необходимо уменьшить шаг по времени. (Шаг дискрета по времени, например ).

Если  <  _{допустимое}, то принять за , и повторить все действия, начиная с первого.