Анализ добротных схем, минуя переходной процесс.

Время переходного процесса в схеме напрямую зависит от ее добротности – способности схемы запасать энергию. Таким образом, возникает необходимость оптимизировать алгоритмы анализа для высокодобротных схем.

За основу берем модель схемы вида:

Одно из свойств переменных состояния – систему, описывающую модель схемы, можно записать так, чтобы каждое ее уравнение будет содержать одну производную, то есть в виде:

–а это явный вид дифференцируемых уравнений.

Решая ее, получаем:

.

Пусть известен период Т колебаний в системе, тогда решение системы дифференциальных уравнений системы за период:

.

Признаком окончания переходного процесса является одинаковое значение исходной величины в начале периода и в его конце, то есть:

,

Условие окончания переходного процесса:

, (3)

где – решение в начальный момент времени,– решение за период.

Разложим (3) в ряд Тейлора:

,

где .

Главный недостаток этого метода – весьма сложное вычисление Якобиана:

.

Рассмотрим его подробнее:

, где – единичная матрица.

Более подробно второе слагаемое:

Лекция №6

Определение Якоби.

;

Более эффективным является определение матрицы Якоби из системы уравнений, полученных в результате дифференцирования уравнений состояния по переменным. Эта система уравнений имеет вид:

Примерный порядок расчета:

1. Задаем начальное приближенное значение

2. x_i+1,

3. Проверяем условия окончания процесса интегрирования. Сравниваем , если нет, то i+1=i и далее в п.1; иначе решаем (3) в

4. Проверяем условия окончания итерационного процесса:

5. Если неравенства в п. 4 не выполняются, то к +1 =к, далее переходим к (3).

Алгоритм определения стационарного режима автогенератора.

Для предыдущих случаев:

1. –уравнение математической модели схемы.

Для автоколебаний:

–то есть зависимость от t пропадает ввиду автономности колебаний.

Тогда ,

(1.1)

Здесь величина Т – период колебаний, неизвестна, в отличие от предыдущих случаев. Таким образом, количество уравнений в автоколебательных системах на единицу больше: n+1.

Зададимся (2)

Так как автоколебания не зависят от времени t, (свойство автономности), можем брать начальные условия везде, где угодно, после завершения переходного процесса.

Тогда – математическая модель.

Имея данную математическую модель уравнение (1.1) можно переписать в виде:

Это уравнение является системой из n нелинейных алгебраических уравнений с n неизвестными и может быть решено с помощью линеаризации нелинейных компонентных уравнений.

Раскладываем в ряд Тейлора:

(3);.

Эта алгебраическая модель автоколебательной системы при установившемся режиме.

Основное отличие:

алгоритм определения якобиана рассмотрен ранее.

Главная проблема – найти:

(*),

в этой формуле x есть U_c или i_L, .

Таким образом, для определения (*):

Лекция №7 Частотный анализ схем

Узловой анализ линейных схем.

Математическая модель схемы имеет вид:

(1) – система дифференциальных уравнений.

На вход нашей схемы подаем гармонический сигнал:

, тогда (1) преобразуется к виду:

, где А – амплитуда.

Недостаток метода переменных состояния – трудность формализации. Другим методом расчета является метод узловых потенциалов:

В методе узловых потенциалов в качестве параметров выступают потенциалы, а не мгновенные значения токов и напряжений. Для МУП характерно то, что составляется наименьшее количество переменных, а следовательно и уравнений.

Матрица инциденции и ее свойства.

Матрица инциденции составляется по следующему принципу:

Номера узлов		Номера ветвей
	I		1	2	3	…	N
	II					…
	III					…
	…		…	…	…	…	…
	a -1					…

Один из узлов принимается за основу. Его заземляют и принимают его равным «0»  количество уравнений будет a –1.

Если ток втекает в узел становиться «1», если вытекает, то «–1», если не связаны «0».

Свойства:

1. Произведение матриц инциденции на токи обобщенных ветвей есть ноль. (Первое уравнение Кирхгофа).

Обозначим

- токи в ветвях. N – количество ветвей схемы.

Все источники напряжения и тока рассматриваются как одна ветвь вместе со стоящим рядом резистором:

Тогда

Аналогично и с источниками напряжения (резонатор включен последовательно):

Например:

	1	2	3
А =	[ 1	1	1]

Перемножение матриц: каждый элемент первой строки умножается на каждый элемент столбца второй.

=

Матрица входных проводимостей ветвей:

	1	2	…	N
1	U1/Y1
2
…
N

Если схема не содержит зависимых источников напряжения и токов, то эта матрица всегда диагональная.

Зависимые источники:

Эквивалентная схема транзистора

В данном случае:

Рассмотрим свойства матриц инциденции.

=0 

Затем

,

2. Матрица инциденции (транспонированная) является оператором, который переводит напряжения в потенциалы.

или

Из свойства (1) 

Отсюда

- это система алгебраических уравнений.