Устойчивость явного и неявного методов временного анализа.

Рассмотрим на примере:

Емкость зарядили до u_c0, а затем в какой-то момент времени разрядили на резистор R. Из курса электротехники известно, что, начиная с момента времени замыкания ключа, график u_L имеет вид:

Опишем эту схему:

Т.е.

, где .

, .

Явный и неявный методы основаны на методах Эйлера. Рассмотрим их устойчивость.

По методу Эйлера

h – шаг квантования (дискретизации).

Тогда для нашего примера:

, x₀ принимаем равным 1.

, из дискретной математики, если Z > 1 то система неустойчива.

.

, таким образом, при h > , Z > 1  система не устойчива.

Вывод:

В явном методе есть возможность численной неустойчивости, все зависит от дискретизации. Для нашего примера:

h <

То есть, используя явный метод необходимо использовать h не большую, чем минимальная постоянная времени всей системы.

Для неявного метода:

,

то есть для любого шага h Z < 1, то есть этот метод всегда устойчив. Поэтому этот метод используется чаще.

Лекция №3.

Временной анализ с повышенной точностью.

Главное требование при модулировании реальных схем на компьютере - точность .

Из прошлой лекции:

, x_i+1 – текущее значение, x_i – предыдущее значение.

Эта формула не точна, она лишь приближение к реальной модели.

Существует теорема Вайерштрасса:

Любую функцию можно аппроксимировать степенным рядом степени m в заданном интервале с прогнозируемой ошибкой.

Представление степенной функции:

Для того чтобы применить теорему Вейерштрасса необходимо задать M +1 коэффициентов. По известным точкам составляются уравнения:

Из этих уравнений получаем коэффициенты .

Для решения этой задачи используют метод «единичного полинома»:

Обозначим эту систему через , то есть только полином равен 1, остальные равны 0. Очевидно, решение системы упрощается (так как нет необходимости каждый раз вычислять ). Тогда

, (1)

то есть функция представляется степенным рядом, состоящим из единичных полиномов.

Единичный полином:

Возьмем производную от (1), получаем

Перепишем это выражение в виде:

,

введем замену , гдеh – дискрет по времени. Получим:

(2).

Эта формула носит название – «формула дифференцирования назад».

Коэффициенты вычисляются по формуле:

??

(Обычно M имеет порядок 6, точность порядка 10^-6).

Рассмотрим (2) при M = 1:

где , то есть:

.

Прогноз начальных условий.

Теорема Вейерштрасса позволяет вычислять погрешности, а так же прогнозировать величину.

Пусть есть некая функция:

Нам известна величина , мы хотим определить близкое значение искомой функции, не решая уравнения, то есть спрогнозировать поведение функции.

Функция прогноза:

.

Этот прогноз будет участвовать в вычислении точности, представим эту формулы в виде:

где

.

Локальная ошибка вычисления производной (временного анализа).

Локальная ошибка определяется как:

,

где h – шаг по времени, – точное значение производной,–значение производной, полученное в результате аппроксимации.

Из теоремы Вейерштрасса эту ошибку можно вычислить по формуле:

,

где – полученное значение,– прогноз.

Очевидно, что для уменьшения ошибки необходимо либо уменьшить шаг дискретизации h, либо увеличивать временной интервал , на котором ведется аппроксимация.

Лекция №4.