
- •Определение случайного явления. Характерные черты случайных явлений
- •Опыт со случайным исходом. Случайные события. Примеры
- •Понятие вероятности. Достоверное и невозможное событие. Единицы измерения вероятности.
- •Пространство элементарных событий. Сумма и произведение событий. Несовместимые события.
- •Правила сложения вероятностей. Полная группа событий
- •Умножение. Условная вероятность. Вероятность только 1 из 3
- •Противоположное событие. Вероятность хотя бы одного события из нескольких возможных.
- •Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Пример
- •Формула полной вероятности
- •Формула Байеса
- •Случайная величина. Примеры. Дискретные и непрерывные.
- •Закон распределения случайной велечины. Ф-я распр и ее св-ва.
- •Ряд распределения случайной вел-ны
- •Числовые хар-ки дискретных случайных велечин
- •Геометрическое распределение
- •Биноминальное распределение
- •Распределение Пуассона. Элементы теории массового обсл. Простой поток.
- •Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Кривая распределения. Элемент вероятности.
- •Равномерное распределение непрерывной случайной величины.
- •Показательное распределение, его хар-ки, пример применения
- •Нормальное распределение, его плотность и кривая
- •Доверительный интервал. 3 сигма.
- •Центральная предельная теорема
- •Локальная теорема Муавра-лапласа
- •Интегральня теорема Муавра-Лапласа
-
Геометрическое распределение
Геометри́ческое распределе́ние в теории вероятностей — распределение дискретной случайной величины равной количеству испытаний случайного эксперимента до наблюдения первого «успеха».
Определение
Пусть
— бесконечная последовательность
независимых случайных величин с
распределением Бернулли, то есть
Построим случайную
величину
— количество «неудач» до первого
«успеха». Распределение случайной
величины Y
называется геометрическим с вероятностью
«успеха» P
, что обозначается следующим образом:
.
Функция вероятности
случайной величины имеет вид:
-
Биноминальное распределение
Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностей — распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p
Определение
Пусть —
конечная последовательность
независимых случайных
величин с распределением
Бернулли, то есть
Построим случайную
величину :
.
Тогда ,
число единиц (успехов) в последовательности
,
имеет биномиальное распределение
с
степенями
свободы и вероятностью «успеха»
.
Пишем:
.
Её функция плотности вероятности
задаётся формулой:
где — биномиальный
коэффициент.
-
Распределение Пуассона. Элементы теории массового обсл. Простой поток.
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
Определение
Выберем фиксированное
число и
определим дискретное
распределение, задаваемое
следующей функцией
вероятности:
,
где
-
обозначает факториал,
-
— основание натурального логарифма.
Тот факт, что
случайная величина имеет
распределение Пуассона с параметром
,
записывается:
.
Простейший поток
Однородный стационарный поток без последействий является простейшим, потоком Пуассона.
Число событий
такого потока, выпадающих на интервал
,
распределено по Закону
Пуассона:
Пуассоновский поток заявок удобен при решении задач ТМО. Строго говоря простейшие потоки редки на практике, однако
многие моделируемые потоки допустимо рассматривать как простейшие.
-
–
-
Плотность вероятности непрерывной случайной величины. Кривая распределения. Элемент вероятности.
Пло́тность
вероя́тности —
один из способов задания вероятностной
меры на евклидовом
пространстве .
В случае когда вероятностная мера
является распределением
случайной величины, говорят
о плотности случайной
величины.
Плотность вероятности
Пусть является
вероятностной мерой на
,
то есть определено вероятностное
пространство
,
где
обозначает борелевскую
σ-алгебру на
.
Пусть
обозначает меру
Лебега на
.
Определение
1. Вероятность называется абсолютно
непрерывной (относительно меры
Лебега) (
),
если любое борелевское множество нулевой
меры Лебега также имеет вероятность
ноль:
Если
вероятность абсолютно
непрерывна, то согласно теореме
Радона-Никодима существует
неотрицательная борелевская
функция
такая,
что
,
где использовано
общепринятое сокращение ,
и интеграл понимается в
смысле Лебега.
Определение 2. В
более общем виде, пусть —
произвольное измеримое
пространство, а
и
—
две меры на
этом пространстве. Если найдется
неотрицательная
,
позволяющая выразить меру
через
меру
в
виде
то такую функцию
называют плотностью
меры по
мере
,
или производной
Радона-Никодима меры
относительно
меры
,
и обозначают
-
Сво-ва пл вер.
Свойства плотности вероятности
-
Плотность вероятности определена почти всюду. Если
является плотностью вероятности
и
почти всюду относительно меры Лебега, то и функция
также является плотностью вероятности
.
-
Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
.
Обратно, если —
неотрицательная п.в. функция, такая
что
,
то существует абсолютно непрерывная
вероятностная мера
на
такая,
что
является
её плотностью.
-
Замена меры в интеграле Лебега:
,
где любая
борелевская функция, интегрируемая
относительно вероятностной меры
.