24. Несобственные интегралы первого рода – по бесконечному промежутку. Главное значение несобственного интеграла первого рода. Несобственные интегралы первого рода

        Определение 4.1Предположим, что функциязадана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел то числоназывается значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называется сходящимся (иными словами, интегралсходится).

Если же предела не существует (например, еслипри), то интегралназывается расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае , величина несобственного интегралаозначает, по определению, площадь бесконечно длинной области, лежащей в координатной плоскости между лучомна оси, графикоми вертикальным отрезком(см. рис.).

Рис.4.1.

Сходящиеся интегралы соответствуют таким областям , площадь которых конечна (хотя сама областьнеограничена), а расходящиеся (в случае) -- неограниченным областям с бесконечной площадью. В случае, когдапри, часто пишут формально:

однако нужно ясно понимать, что эта запись означает расходимость интеграла и отсутствие у него числового значения.

Само определение значения интеграла через предел интегралов по конечным, но увеличивающимся отрезкам означает исчерпание площади путем учёта все большей её частиправый вертикальный отрезок, проведённый при, отодвигается всё дальше и дальше в бесконечность; в пределе будет учтена вся площадь под графиком(см. рис.).

Рис.4.2.

Пример 4.1Вычислим значение интеграла

Согласно определению, нам нужно вычислить значение функции

а потом вычислить предел

Итак,

(напомним, что ) и

Получили, что интеграл сходится и его значение таково:

Заметим, что тем самым мы вычислили площадь бесконечно длинной области под графиком , лежащей над положительной полуосью (см. рис.).

Рис.4.3.

Поскольку рассматриваемая функция -- чётная, то её график симметричен относительно оси, так что площадь под графиком левее оси-- точно такая же, как и площадь правее оси, то есть тоже равна, а площадь под всем графиком (над всей осью) естественно считать равной

        Замечание 4.1Для краткости записи, предел подстановки

возникающий при вычислении несобственного интеграла, часто обозначают как

под подстановкой значения в функциюпонимая как раз вычисление предела

В этих обозначениях запись вычисления интеграла предыдущего примера будет выглядеть так:

Ниже мы часто будем прибегать к такой укороченной записи.     

Определение 4.2Предположим, что функциязадана на бесконечном промежутке видаи интегрируема на любом конечном отрезке, где. Таким образом, мы можем рассмотреть функцию

Если эта функция имеет предел

то число называется значением несобственного интеграла первого рода

а сам интеграл называется сходящимся (то есть сходится). Если же пределане существует, то интегралназывается расходящимся (то есть расходится) и не имеет никакого числового значения.

Геометрически, в случае неотрицательной подынтегральной функции , вычисление несобственного интегралаозначает нахождение площади бесконечно длинной области, лежащей между осьюи графиком, левее вертикальной линии. Условиеозначает, что мы исчерпываем всю площадь, отодвигая всё левее, "в минус бесконечность", линию, временно ограничивающую рассматриваемую часть области справа (см. рис.).Рис.4.5.

В интегралах изнакииназывают несобственными концами промежутка интегрирования, или несобственными пределами интегрирования. Данные нами определения означают, что при вычислении несобственных интегралов первого рода нужно "обрезать" несобственный предел некоторым конечным значением (или), вычислить определённый интеграл по получившемуся конечному промежутку, а затем устремить в бесконечность конечный пределили.

Очевидно, что при изменении направления на оси , то есть при замене, интегралпереходит в равный ему интеграли, соответственно, после перехода к пределу, несобственный интегралпереходит в равный ему интеграл. Таким образом, все свойства интегралов по промежуткуповторяют соответствующие свойства интегралов по промежутку, изучением которых можно и ограничиться. Так мы далее и поступим, не разбирая отдельно свойств интегралов вида.

Наконец, дадим определение интегралу от функции, заданной на всей числовой оси.

Определение 4.3Пусть функцияопределена при всехи интегрируема на любом отрезке. Возьмём произвольное значение(например,) и будем считать по определению несобственный интеграл

равным сумме двух несобственных интегралов по промежуткам и, то есть

Если при этом оба несобственных интеграла в правой части сходятся, то и интеграл считается сходящимся, а если хотя бы один из них расходится (при этом неважно, сходится или расходится другой), то и интегралсчитается расходящимся (тогда он не имеет никакого числового значения).

Заметим, что в точности в соответствии с этим определением мы поступили выше, когда определяли площадь области, расположенной под всем графиком функции ; эта площадь оказалась равной числу.

Для корректности данного определения интеграла по всей оси нам следует доказать, что результат не зависит от выбора точки , то есть при выборе двух разных точекиопределение даёт одно и то же, поскольку

(4.1)

Действительно, пусть . Тогда, при любых конечныхимы, согласно аддитивности определённого интеграла, имеем:

Переходя теперь два раза к пределу, сначала при , а потом при, получаем доказываемую формулу (4.1).

В дальнейшем для облегчения записи того, сходится или расходится несобственный интеграл, мы будем использовать следующие обозначения. Тот факт, что интеграл сходится, будем записывать в виде такого неравенства:

а то, что интеграл расходится -- в виде условной записи

(даже если функция не стремится кпри). Особенно часто такие обозначения применяются в случае, когдапри всех; тогда "равенство"отвечает тому факту, что соответствующая область под графиком функции имеет бесконечную площадь.

Аналогичные обозначения мы будем применять и для интегралов по промежуткам вида и по всей оси, а также, в дальнейшем, и для несобственных интегралов второго рода (от неограниченных функций).