11.4. Момент импульса и силы относительно оси.

Уравнение моментов (11.5) - векторное уравнение, поэтому в декартовых координатах его можно записать можно записать в виде трех скалярных уравнений:

. (11.13)

Пусть в интересующей нас системе отсчета ось неподвижна, и точка , относительно которой рассматриваются моменты, находится на этой оси.

Моментом импульса относительно оси называют проекцию на эту ось вектора , определенного относительно произвольной точки на данной оси (см. рисунок). Аналогично определяется и момент силы относительно любой выбранной оси.

Обозначим их и , тогда, спроектировав (11.5) на ось , получаем

, (11.14)

т.е. производная по времени от момента импульса частицы относительно оси равна моменту силы относительно той же оси.

Если

, то ,

т.е. если момент силы относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то момент импульса частицы относительно этой оси остается постоянным, хотя сам вектор момента импульса может меняться.

Найдем аналитические выражения для и , т.е. будем искать проекции на ось векторных произведений и . Эту задачу удобнее решать в цилиндрической системе координат. Поэтому

выразим векторы и через координаты цилиндрической

системы, связав с частицей орты , направленные в сторону

возрастания соответствующих координат:

, (11.15)

, (11.16)

где плечо (перпендикуляр, опущенный из точки на ось , см.

рисунок).

Векторное произведение можно представить с помощью

определителя

Взяв проекцию вектора на соответствующую ось, получаем момент импульса частицы относительно оси :

(11.17).

Если учесть, что

,

т.к. скорость выражается через угловую скорость как и, соответственно, , можно привести выражение для момента импульса частицы относительно оси к виду, более удобному для практических применений:

. (11.18).

Заметим, что проекция на ось вектора угловой скорости , с которой поворачивается радиус-вектор частицы.

Аналогично записывается выражение для момента силы относительно оси :

. (11.13)

Анализируя полученные выражения, можно сделать очевидный, но важный вывод: проекции и не зависят от выбора точки на оси , относительно которой определены векторы и . Кроме того, и - алгебраические величины, знаки которых соответствуют знакам проекций и .

1.12. Движение частицы в центральном поле.

12.1. Сохранение момента импульса в центральном поле.

Выше мы ввели в рассмотрение центральные силы. Напомним, что сила называется центральной, если для всех точек поля она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил, или силовым центром.

. (12.1)

Уже из определения следует, что центральные силы консервативны.

В поле консервативных сил можно ввести потенциальную энергию:

(12.2)

При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:

. (12.3)

Тогда из уравнения моментов (11.5) получаем, что момент импульса есть постоянная величина.

При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется, несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.

. (12.4)

Поскольку , т.е. величина и направление вектора

сохраняются, а вектор момента импульса всегда

перпендикулярен к векторам и , то движение частицы

происходит в плоскости, перпендикулярной к . Отсюда следует,

что частица в поле центральных сил движется по плоской орбите.

Если ось направлена по вектору , то , а траектория частицы лежит в плоскости, перпендикулярной оси . Выше мы получили, что , где проекция радиус-вектора на плоскость, в которой лежит траектория частицы. В рассматриваемом случае, начало координат и вектор лежит в плоскости орбиты, поэтому

. (12.5)

Геометрическая интерпретация.

Пусть частица движется в поле центральных сил по плоской траектории, представляющей собой замкнутую кривую.

Выбрав за начало отсчета точку , найдем площадь сектора , показанного на рисунке.

.

Здесь - угол между (длина радиус-вектора, проведенного к точке ) и . Будем сжимать отрезок к точке . В пределе – касательная к траектории частицы в точке , т.е..

Тогда можем записать

. (12.6)

Вводя понятие секториальной скорости как площади, описываемой радиусом-вектором в единицу времени, получаем

. (12.7)

Обратим внимание, что вектор секториальной скорости и вектор напрвлены вдоль вектора и перпендикулярны плоскости орбиты.

Если применить выражение (12.7) к описанию движения планет, то мы получим математическое выражение 2-го закона Кеплера, устанавливающего постоянство секториальной скорости планеты при движении в центральном поле:

. (12.8)

Этому закону подчиняется, например, движение планет по эллиптическим орбитам.

Итак, свойства движения частицы в центральном поле:

1) движение плоское, плоскость проходит через точку , определенный относительно которой момент импульса частицы сохраняется.

2) секториальная скорость постоянна (II закон Кеплера).

Примечания:

Площадь элементарного сектора, описываемая радиус-вектором при повороте на за время :

.

Закон сохранения момента импульса частицы, движущейся в центральном поле иногда называют “интегралом площадей”.

12.2. Закон сохранения энергии в центральном поле.

Центральные силы консервативны, следовательно, полная энергия частицы в системе «силовой центр – частица» (замкнутая система) сохраняется.

. (12.9)

Поскольку задача плоская, удобно воспользоваться полярными координатами и представить импульс частицы в виде суммы радиальной и азимутальной составляющих:

.

В полярных координатах выражения для момента импульса и полной энергии частицы приобретают вид:

; (12.10)

. (12.11)

В выражении (12.10) , т.к. , и

, (12.10а)

т.к. траектория частицы плоская и .

Если, воспользовавшись (12.10), исключить из уравнения (12.11) азимутальную составляющую импульса частицы , то полную механическую энергию частицы можно записать как

. (12.12)

Примечание. Величину называют центробежной энергией.

Уравнение (12.12) содержит только одну неизвестную – радиальную компоненту импульса . Поэтому оно может формально рассматриваться как уравнение для энергии одномерного – радиального – движения частицы. В этом случае роль потенциальной энергии играет функция

. (12.13)

Т.о., можно сказать, что задача о движении частицы в центральном поле сводится к нахождению условий финитности (инфинитности) одномерного движения частицы в радиальном направлении в поле, описываемом эффективной потенциальной функцией .