
ТАУ3
.docУстойчивость линейных САУ. Понятие устойчивости.
В простейшем случае понятие устойчивости системы связано со способностью её возвращаться (с определённой точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели её из этого состояния.
Наглядно устойчивость равновесий представлена на рисунке:
Положение равновесия шара хар-ся точкой
.
В случае I при
при
бесконечном отклонении шара от
положительного равновесия, он стремится
снова возвратиться к положительному
равновесию
.I
– устойчивое положение равновесия; II
– неустойчивое; III –
безразличное.
Дадим строгое определение устойчивости (дано русским ученым А.М. Ляпуновым в 1892).
Пусть движение САУ описывается дифференциальным ур-ем:
или
(1)
где xi – вещественная
переменная, характеризующая состояние
системы упрощения; xi –
известные функции переменных
и времени t, удовлетворяющее
условиям
(существования и единственности) решения
ДУ ;
-
управляющие воздействия, подаваемые
на систему
.
Если для всех
U(t)=0, то
система называется свободной.
Определение 1. Состояние
свободной системы называется состоянием
(положением) равновесия, если
для
(2)
Очевидно, что если
для
,
то система, находящаяся в
состоянии,
в нем и останется (скорости нет => не
сдвинется в отсутствие внешних сил).
Состояние равновесия называют также невозмущенным движением.
Пусть система под воздействием внешних
сил отклонилась от невозмущенного
движения, а затем внешние силы при t=t0
сняты. Движение системы с момента времени
t0 зависит от начального
отклонения
,
от положения равновесия
.
Отклонение
наз-ся
возмущением.
Т.о.
- Ур-е возмущенного дв-я
- Ур-е невозмущенного дв-я
Определение 2. (Устойчивость по Ляпунову)
Состоянием равновесия
(невозмущенное движение
)
наз-ся устойчивым всмысле Ляпунова,
если для
такое, что для
возмущения
,
удовлетворяющее условию
будет выполняться условие
для
.
Критерии устойчивости делятся на 2 группы:
-
алгебраические критерии (Гурвица, Рауса)
-
частотные критерии (Найквиста, Михайлова)
Критерий устойчивости Гурвица (без д-ва):
Дана линейная стационарная система, характ. полином к-ой имеет вид:
.
Составим по нему матрицу Гурвица размера nxn следующего вида:
Порядок составления:
-
По главной диагонали выписываются по порядку к-ты a1..an
-
строка дополняется таким образом, чтобы слева направо индексы возрастали, и чтобы строки с четными и нечетными индексами чередовались. Вместо к-тов с индексами, меньшими 0 и большими n, пишут нули.
Определителями Гурвица
,
где i=1,…,n
называются главные диагональные миноры
м-цы Гурвица.
;
;
…
Теорема. Для того, чтобы линейная стационарная система была асимптотически устойчива, Н и Д, чтобы при a0>0 все определители Гурвица были положительны (при а0<0 – наоборот). Система находится в состоянии устойчивости, если
и
, где i=1,2,…,n-1
Но т.к.
, то имеют место 2 случая:
1.
- апериодическая граница устойчивости
(один из корней хар-го Ур-я =0)
2.
- колебательная граница устойчивости
(2 комплексно-сопряженных корня хар-го
Ур-я, находящихся на мнимой оси)
Частные случаи.
-
Система 1го порядка:
Н=а1 => условие устойчивости
:
,
-
Система 2го порядка:
:
;
Условие устойчивости:
;
;
;
Вывод: для систем 1 и 2 порядка Н иД условием устойчивости является положительность всех к-тов хар-го Ур-я.
-
Система 3го порядка:
;
Условие устойчивости:
,
;
Из 2х последних Ур-й =>
.
Т.о. для устойчивости системы 3 порядка
кроме положительности всех к-тов
требуется еще, чтобы
,
т.е. чтобы произведение средних к-тов
хар-го Ур-я было больше произведения
крайних.
Частотные критерии устойчивости
Эти критерии базируются на принципе
аргумента: изменение аргумента
частотного хар-го полинома D(jυ)
при изменении частоты 0<υ<∞ равно
, где n- порядок системы,
m- количество правых корней
Ур-я D(p)=0.
Критерий устойчивости А. В. Михайлова (1938г.)
Пусть дано хар-ое Ур-е
, тогда хар-ое частотное Ур-е (p=jυ):
,
где
;
называются соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова.
При изменении частоты υ вектор D(jυ), изменяясь по величине и направлению, будет описывать своим концом в комплексной плоскости некоторую кривую, называющуюся годографом Михайлова.
В соответствии с принципом аргумента, угол поворота вектора D(jυ) вокруг начала координат при изменении частоты υ от 0 до ∞ равен:
- нет правых!
Это условие необходимое, но не достаточное. Для устойчивости Н и Д, все были левыми.
D(jυ),
т.о. критерий устойчивости Михайлова:
для того, чтобы САУ была устойчива Н и
Д, чтобы вектор кривой Михайлова D(jυ)
при изменении от 0 до ∞ повернулся, нигде
не обращаясь в 0 вокруг начала координат
против часовой стрелки на угол πn/2,
где n- порядок хар-го Ур-я.
Замечание. Для устойчивых систем
кривая Михайлова при υ=0 начинается на
положительной вещественной полуоси,
т.к. при а0>0 все к-ты хар-го Ур-я
положительны (необходимое условие!) =>
и
.
Для устойчивых систем:
Для неустойчивых систем:
Критерий устойчивости Найквиста
-
Разомкнутая система устойчива
Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая САУ также устойчива, если АФЧХ разомкнутой системы W(jυ) не охватывает точку с координатами (-1,j0).
-
Система в разомкнутом состоянии неустойчива
Формулировка критерия: т.о., для устойчивости замкнутой системы, если разомкнутая система неустойчива, Н и Д, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала (при повороте вектора Wp(jυ) против часовой стрелки) точку (-1;j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточной функции разомкнутой системы.
Примеры:
Критерий Найквиста в логарифмической форме
При сложной форме х-ки W(jυ) могут возникнуть затруднения при определении числа ее оборотов вокруг критической точки (-1,j0). В этом случае для суждения об устойчивости удобно применять «правило переходов», предложенное Я.З.Цыпкиным.
Назовем переход хар-ки W(jυ) через отрезок вещественной оси слева от точки (-1,j0), т.е. отрезок (-∞,-1) при возрастании υ положителен, если он проходит сверху вниз, и отрицателен, если снизу вверх. Если х-ка W(jυ) начинается на отрезке (-∞, -1) при υ=0 или заканчивается на нем при υ=∞, то в этих случаях считается, что она совершает полперехода.
Тогда критерий Найквиста можно сформулировать так: если разомкнутая САУ неустойчива, то для того, чтобы замкнутая САУ была устойчива, Н и Д, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФХ разомк. системы Wp через отрезок вещественной оси (-∞,-1) при изменении частоты υ от 0 до ∞ была равна е/2, где е- число правых корней хар-го Ур-я разомкнутой системы.
Для монотонных ЛАХ и ЛФХ:
Формулировка: если система в разомкнутом
состоянии имеет монотонные убывающие
ЛАХ и ЛФХ, то для того, чтобы замкнутая
САУ была устойчива, Н и Д, чтобы на частоте
среза
ЛФХ φ(υ) располагалась выше уровня –π.
Показатели качества САУ (временные, частотные, корневые, интегральные). Статическая ошибка и добротность САУ.
Временные показатели качества являются прямыми оценками качества и определяются по кривой переходного процесса при подаче на вход единичного ступенчатого воздействия.
1) Время переходного процесса (время
регулирования)
-
время вхождения в 5%-зону от уровня
установившегося состояния. Чем меньше
,
тем выше быстродействие системы.
,
2) Перерегулирование σ – это величина
максимального отклонения управляемой
координаты от установившегося значения,
взята в процентах по отношению к уровню
установившегося состояния.
-
Установившаяся (статическая) ошибка рассматривается в случае, если установившееся состояние не достигло заданного
-
Время первого согласования (время нарастания) хар-ет быстродействие – минимальное время, при котором система первый раз входит в 5% зону от установившегося состояния.