10

СБОРНИК ЗАДАЧ по дисциплине «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА» (второй семестр) – 2013-14 у. г.

Литература

1. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 280 с.

2. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях. – М.: Логос, 2000. – 240 с.

3. Шапорев С.Д. Дискретная математика. Курс лекций и практических занятий. – СПб.: БХВ-Петербург, 2006. – 400 с.

4. Андерсон Дж. Дискретная математика и комбинаторика. – Издательский дом «Вильямс», 2003. – 960 с.

Элементы комбинаторики

1. Буквы азбуки Морзе образуются как последовательность точек и тире. Сколько различных букв можно записать, если использовать 5 символов. Как изменится ответ, если можно использовать не более 5 символов?

2. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров (телефонный номер может начинаться с 0)? Сколько существует различных номеров, если каждый номер содержит не более 7 цифр? Сколько существует семизначных телефонных номеров, все цифры которых различны?

3. В некотором государстве нет двух жителей с одинаковым набором зубов. Какова может быть наибольшая численность населения государства (наибольшее число зубов у человека равно 32)?

4. Сколько существует различных перестановок 7 учеников, при которых три определенных ученика находятся рядом друг с другом (между ними нет других учеников)?

5. Сколькими способами можно разместить 8 человек за круглым столом так, чтобы два определенных человека оказались рядом?

6. На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах. Сколькими способами можно их переставить, чтобы: 1) тома 1 и 2 стояли рядом; 2) тома 3 и 4 не стояли рядом?

7. Сколько различных аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд содержит от 3 до 10 звуков?

8. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет, содержащий 2 розы и 3 георгина. Сколько можно составить различных букетов?

9. В колоде 36 карт, из них 4 туза. Сколькими способами можно сдать 6 карт так, чтобы среди них было ровно 2 туза? Хотя бы 2 туза?

10. Комплексная бригада состоит из 2 маляров, 3 штукатуров и 1 столяра. Сколько различных бригад можно создать из рабочего коллектива, в котором 15 маляров, 10 штукатуров и 5 столяров?

11. Сколько различных окружностей можно провести через 10 точек, из которых никакие 3 не лежат на одной прямой и никакие 4 не лежат на одной окружности?

12. Из колоды, содержащей 52 карты (из них 4 туза), вынули 10 карт. В скольких случаях среди них будет хотя бы один туз?

13. Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта?

14. Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было точно 2 крестовые карты, 1 бубновая, 1 дама?

15. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «ОГОРОД» так, чтобы три буквы «О» не стояли рядом?

16. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «ВЗБРЫКНУЛ» так, что между двумя гласными расположены три согласные буквы?

17. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «ПОЛУМЕРА» так, чтобы не встречалось буквосочетание «МУРЛО»?

18. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «ПРЕЗИДЕНТ» так, чтобы согласные буквы шли в алфавитном порядке?

19. Сколькими способами можно разместить положительные целые числа, меньшие 10, так чтобы 4 было расположено сразу после 5 или 5 было расположено сразу после 4? Сколько существует размещений, в которых 4 и 5 не стоят рядом?

20. Сколько различных слов можно составить из букв слова «МИССИСИПИ»?

21. Сколько различных наборов по 8 пирожных в каждом можно составить, используя 4 сорта пирожных?

22. Требуется составить расписание отправления поездов на разные дни недели. При этом необходимо, чтобы 3 дня отправлялось по 2 поезда в день, 2 дня  по одному поезду в день, 2 дня  по 3 поезда в день. Сколько можно составить различных расписаний?

23. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом пятерых мужчин и пятерых женщин, если двое мужчин не могут сидеть рядом?

24. Сколько шестизначных чисел, кратных 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6? Как изменится ответ при условии, что цифры числа не должны повторяться?

25. В группе 30 студентов. Сколькими способами можно выделить 2 человек на дежурство, если: 1) один из них должен быть старшим; 2) старшего быть не должно?

26. В чемпионате страны по футболу участвуют 18 команд, причем каждая пара команд встречается между собой 2 раза. Сколько матчей будет сыграно в течение сезона?

27. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и 4 черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом. Рассмотреть 2 случая: 1) все шары одного цвета неотличимы друг от друга; 2) все шары различны.

28. На 5 сотрудников выделены 3 путевки. Сколькими способами их можно распределить, если: 1) все путевки различны; 2) все путевки одинаковы?

29. Сколько диагоналей имеет выпуклый n- угольник?

30. На одной из двух параллельных прямых лежат 15 точек, на другой  21 точка. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

31. Из цифр 1, 2, 3, 4 составлены всевозможные четырехзначные числа так, что в каждом числе нет одинаковых цифр. Сколько получилось чисел? Сколько среди них четных?

32. Сколько различных слов можно образовать из букв, образующих слова: 1) зебра; 2) баран; 3) водород?

33. Сколько делителей имеет число 462?

34. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых нечетны?

35. Среди всех целых чисел от 1 до каких больше: тех, в записи которых используется цифра 9, или тех, которые записываются без нее?

36. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать вещи, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Набор одного номера занимает 15 секунд. Сколько времени потребуется пассажиру, для того чтобы гарантированно получить свои вещи?

37. Сколько целых положительных чисел меньших 700 делятся на 3 или на 5?

38. Сколько целых чисел между 1 и 401 делятся на 10 или на 15?

39. Сколько строк длины 9 содержат ровно 5 единиц и 4 нуля?

40. Сколько существует шестизначных чисел, если первая цифра может быть нулем, цифры не должны повторяться и последние две цифры должны быть 7 или 8?

41. Если монета подброшена 8 раз, то сколько существует способов выпадения двух «орлов» и шести «решек»?

42. Если монета подброшена 10 раз, то сколько существует способов выпадения не менее трех «орлов»?

43. Найти x и y из пропорции .

44. Найти x и y из пропорции .