0491803_E70E2_voprosy_k_ekzamenu_po_statistike / 16_srednie

Вопрос 16. Методология средних. Применение средних величин.

В зависимости от особенностей распределения рассчитывают показатели, которые возможно разделить на три основные группы:

1) уровень изучаемого признака;

2) вариация изучаемого признака;

3) форма распределения.

Важнейшей характеристикой уровня изучаемого признака является средняя величина.

Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств

Средняя величина - - обобщающая величина изучаемого признака в совокупности, которая характеризует либо типичный уровень по качественно однородной совокупности, либо совокупность в целом.

Средние величины бывают:

• типические - если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности

Пример: средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

• нетипические (по неоднородной совокупности);

Пример: средняя скорость гоночных автомобилей

Общая и групповые средние

Средняя величина, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Она дополняется средними, если совокупность разделить на отдельные группы. Такие средние величины называются групповыми средними.

Виды средних величин

• Степенные

  • Простые (невзвешенные)- по списку результатов индивидуальных наблюдений

  • Взвешенные - по сгруппированным данным

• Структурные (применяются для изучения структуры вариационного ряда)

  • Мода

  • Медиана

Если совокупность разбита на несколько групп и в каждой группе рассчитана своя средняя арифметическая величина , общая средняя для всей совокупности составит:

, где - среднее значение признака в i-й группе; - объем i-й группы.

Степенные средние величины:

Общий вид расчета степенной простой величины	Общий вид расчета степенной взвешенной величины
m – вес, x – значение признака, n – число единиц совокупности, z – вид степенной величины, i – номер элемента совокупности

Многие виды средних могут быть получены из формулы степенной средней. Подставив в её формулу значение Z (показатель степени), определяемое объектом и задачами исследования, возможно получить тот или иной вид средней: арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую и т.д.

Виды степенных средних величин

Средняя гармоническая, z = -1; Средняя геометрическая, z = 0; Средняя арифметическая, z = 1;

Средняя квадратическая, z = 2; Средняя кубическая, z = 3.

Вид средней	простые	взвешенные
арифметическая Z=1
Гармоническая Z=-1
Геометрическая Z=0
Квадратическая Z=2
Кубическая Z=3

Здесь - значения изучаемого признака, n - объем совокупности, - вес, Z показатель степени,

Свойства средней арифметической

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю;

2. если от каждого значения признака вычесть или к каждому его значению прибавить одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число;

3. если каждое значение признака разделить или умножить на одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз;

4. если значения признака-веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится;

5. сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины;

6. произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты.

Правило мажоритарности средних

С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина

гарм геомарифмквадркуб

Применение степенных средних (зависит от характера имеющейся информации)

Вид степенной средней	Область применения
Гармоническая	В случаях, когда известны значения признаков, а вес дан в виде произведения значений признака на число единиц
Геометрическая	При анализе динамики (для определения среднего темпа роста) При заданном минимальном и максимальном значении признака
Арифметическая	В случаях, если объем осредняемого признака образуется как сумма его значений по всем единицам изучаемой совокупности
Квадратическая	При расчете показателей вариации При определении средней длины квадратного участка
Кубическая	При расчете осредняемого признака в пространстве

Применение средних величин в экономике

В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

Средняя зарплата показывает, сколько получает один работник. Зарплата индивидуального работника – это индивидуальная величина. Cумма начисленных средств всем работникам – суммарная величина, а средняя зарплата – средняя величина

Средняя цена показывает, сколько в среднем стоит данный товар. , где товарооборот - выручка от реализации всего товара

И т.п.