ТУ - лекции Овсянникова / 32.Управление пучком траекторий в линейном случае

Лекция 32. Управление пучком траекторий в линейном случае.

Рассмотрим функционал

Z T Z Z

I(u) = '(t; xt; u(t; xt)) (t; xt)dxtdt + g(xT ) (T; xT )dxT ; (1)

0 Mt;u Mt;u

заданный на сечениях пучка траекторий системы, исходящих из множества M0 Rn, и учитывающий плотность распределения траекторий. Считаем, что начальная плотность (0; x) = 0(x) задана. Далее полагаем

g= x 0x + x 0;

'= x A(t)x + u B (t)x + x B(t)u + u C(t)u + x A1(t) + u C1(t);

где A; B; C; 0 матрицы, A1; C1; 0 векторы соответствующих размерностей. Предполагаем также, что 0 постоянная матрица, 0 постоянный вектор, а компоненты остальных упомянутых матриц и векторов

156

определены и непрерывны на [0; T ]. Считаем также, что матрицы A и C симметричны и квадратичная форма u Cu является положительно определенной, т.е. существует постоянная c > 0, такая, что cu u u C(t)u, t 2 [0; T ]. Требуется построить управление вида u = Mx + N(t), минимизирующее функционал (1).

Функционал (1) можно представить в виде

Управление вида u = Mx + N(t), где матрица M(t) и вектор N(t) имеют вещественные и непрерывные компоненты, определенные на [0; T ], называют оптимальным по отношению к функционалу (3), если оно доставляет этому функционалу наименьшее возможное значение на любом движении

157

Имеет место следующая теорема В.И.Зубова:

158

Теорема 1 Для того, чтобы существовало оптимальное управление в системе dx=dt = P (t) x + Q(t) u + f(t) в смысле функционала (3), необходимо и достаточно, чтобы уравнение (4) с начальным условием (6) имело решение, непрерывное при t 2 [0; T ], при этом оптимальное управление представимо в форме

Из теоремы 1 и представления (2) для функционала (1) следует, что управление, оптимальное по отношению к функционалу (3), является оптимальным и по отношению к функционалу (1).

Дадим еще одно представление функционала (1), позволяющее обойтись без интегрирования по сечениям пучка траекторий в функционале (1) или без интегрирования по множеству M0 в функционале (2) и сводящее бесконечномерную задачу к конечномерной.

159

Z

D(t) = (xt x(t)) (xt x(t)) (t; xt)dxt:

Mt;u

Здесь масса (заряд) частиц; x(t) центр тяжести пучка;

D(t) матрица вторых моментов. Изменение x(t) и D(t) в силу системы dx=dt = P (t) x + Q(t) u + f(t) при управлении u = Mx + N описывается уравнениями

160

с начальными условиями x(0) = x0, D(0) = D0. Функционал (1) можно записать теперь в виде

где u = Mx(t) + N(t), x(t) и D(t) определяются уравнениями (10), (11). Таким образом, управление, оптимальное по отношению к функционалу

(3), является оптимальным и по отношению к функционалу (12). Особый интерес здесь представляет случай, когда x(t) 0.

161

162