Басов3

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Учитывая, что все должно происходить в малой трубчатой окрестности дуги интегральной кривой расчетного решения y = '(x; 0); выберем нулевое пикаровское приближение не константой, а лежащим в окрестности кривой 0 = f(x; '(x; 0)) j a x bg:

Пусть, для начала, : Положим

y(0)(x) = y(0)(x; x0; y0; 0) = y0 '(x0; 0) + '(x; 0) (8 x 2 [a; b]):

Отметим четыре свойства нулевого пикаровского приближения:

Непосредственно из вида y(0)(x; x0; y0; 0) в б) вытекает, что нулевое пикаровское приближение непрерывно по каждому из аргументов x0; y0; ; а по x непрерывно дифференцируемо, что гарантирует непрерывность y(0) по совокупности аргументов.

Кроме того, свойство г), очевидно, вытекает из в), поскольку в области U jjy0 '(x0)jj < ; а jj 0jj всегда меньше :

Теперь для 8 k 1 стандартно рекуррентным образом введем

– k -е пикаровское приближение, которое определено в некоторой окрестности точки x0; и y(k)(x0) = y0:

Наличие компакта U позволят ввести две константы.

Пусть L = L 1 – глобальная константа Липшица для U ; а

Опять же, 3k) означает, что jjy(k)(x) '(x)jj и jj 0jj :

31

Установим сначала базу индукции.

Поэтому первое пикаровское приближение y(1)(x; x0; y0; ) = y0 +

которого используем введенную выше константу ; найдется константа = (0 < =2) такая, что если jjy(0)(s) '(x)jj

иjj 0jj ; то jjf(s; y(0)(s); ) ds f(s; '(s; 0); 0)jj :

Но точка (x0; y0; ) 2 U и выполняется свойство в), поэтому

последнее неравенство справедливо.

В результате jjy(0)(s) '(x)jj jx x0j для 8 x 2 [a; b]; что совпадает с 2k) при k = 1:

31) Для 8 x 2 [a; b] по неравенству треугольника имеем:

jjy(1)(x) '(x)jj jjy(1)(x) y(0)(x)jj + jjy(0)(x) '(x)jjjx x0j + (b a) + =2 ;

так как, очевидно, =(2(b a)) и =2:

Предположим теперь, что утверждения 1) – 3) выполнены для

определению (3.16) является (k + 1) -м пикаровским приближением. По индукционному предположению 3k) это приближение определено для 8 x 2 [a; b] и непрерывно по совокупности аргументов в V как композиция непрерывных функций.

2k+1) Для 8 x 2 [a; b] имеем:

32

Согласно 3k) и 3k 1) аргументы f принадлежат компакту U ; на котором функции f удовлетворяет условию Липшица глобально с константой L: Поэтому, используя неравенство (3.8), получаем:

Таким образом, индукционные предположения 1k) 3k) доказаны. Дословно следуя теперь доказательству теоремы Пикара, можно показать, что пикаровские приближения, определенные в (3.16), равномерно относительно [a; b] сходятся к непрерывной в области V функции y = y(x; x0; y0; ); являющейся единственны решением

ной в области F = G M функцией f; где M = f j jj 0jj < cg: Пусть y = y(x; x0; y0; ) – решение задачи Коши системы (3.15)

сначальными данными x0; y0; т. е. y(x0; x0; y0; ) = y0( ):

Впредыдущем разделе была установлена непрерывность решения

по совокупности своих четырех аргументов.

Однако большой практический интерес представляет собой знание производных выбранного решения по параметрам и начальным данным, причем как их наличие, так и способы нахождения.

Разумеется, чтобы рассчитывать на дифференцируемость решений не только по независимой переменной x; придется наложить дополнительные ограничения на функцию f системы (3.15).

33

Теорема (о дифференцируемости решений по начальным данным и параметрам). Пусть в системе (3.15) функция f(x; y; ) определена, непрерывна и имеет непрерывные fy0; f0 в области F

D = f(x; x0; y0; ) j (x0; y0; ) 2 F; x 2 Imaxg; Imax – максимальный интервал существования решения y(x; x0; y0; ); причем

иначальным данным v(x0) = @y0( )=@ j;

2)вектор функция '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi0 для 8 i = 1; n удовлетворяет линейной однородной системе порядка n

иначальным данным u(x0) = e(i) (e(i) = (0; : : : ; 1i; : : : ; 0));

3)вектор функция (x) = @y(x; x0; y0; )=@x0 удовлетворяет системе (3.18) и начальным данным u(x0) = f(x0; y0; ):

Df. Линейные системы (3.17) и (3.18) называются системами в вариациях вдоль решения y(x; x0; y0; ):

Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование частных производных решения при выполнении условий теоремы доказывается путем непосредственного вычисления предела приращения функции к приращению аргумента и здесь приведено не будет. Это чисто техническое рассуждение при желании можно найти практически в любом учебнике по ОДУ.

Перейдем к доказательству неформальной части теоремы. Подставляя решение y(x; x0; y0; ) в систему (3.15), получаем

34

1)Поскольку в F существуют и непрерывны fy0(x; y; ); f0 (x; y; )

иy0 (x; x0; y0; ); левую и правую (как сложную функцию) части тождества (3.19) можно продифференцировать по компоненте j;

Правая часть полученного равенства непрерывна по x и j как композиция непрерывных функций, следовательно и левая часть непрерывна, а значит, во второй смешанной производной дифференцирование по x и по j можно поменять местами. После этого становится очевидным, что функция (j)(x) = @y(x; x0; y0; )=@ j (j = 1; m) удовлетворяет системе в вариациях (3.17).

При этом в силу независимости переменных x и в частной производной решения по j можно выбрать x равным x0: Тогда

(j)(x0) = @y(x0; x0; y0; )=@ j = @y0( )=@ j:

2) По соображениям аналогичным тем, которые приведены в 1), левую и правую части тождества (3.19) можно продифференциро-

Меняя в левой части порядок дифференцирования, заключаем, что функция '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi(0) (i = 1; n) удовлетворяет

системе в вариациях (3.18).

Кроме того, '(i)(x0) = @y(x0; x0; y0; )=@yi(0) = @y0=@yi(0) = e(i);

поскольку компоненты y1(0); : : : ; yn(0) не зависят друг от друга.

3) Дифференцируя теперь тождество (3.19) по начальному данному x0 и меняя порядок дифференцирования в левой части, устанавливаем, что функция (x) = @y(x; x0; y0; )=@x0 также удовлетворяет системе в вариациях (3.18).

Остается только вычислить (x0): Но зафиксировать в частной производной решения по x0 аргумент x равным x0 нельзя, так как x0 в рассматриваемом случае оказалась не константой, а независимой переменной, по которой и берется частная производная.

Поэтому придется использовать тождество y(x0; x0; y0; ) = y0:

35

Если допустить, что в системе (3.15) функция f(x; y; ) имеет большую чем единица гладкость по y и ; то естественно ожидать, что и решение y = y(x; x0; y0; ) системы (3.15) можно большее число раз продифференцировать по начальным данным и параметрам.

Теорема (о существовании у решения производных высших порядков). Пусть в системе (3.15) функция f(x; y; ) 2 Cx;y;0;k;k(F );

тогда решение системы (3.15) y = y(x; x0; y0; ) 2 C1;k;k;k (D):

x;x0;y0;

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем его методом математической индукции по степени гладкости k функции f:

База индукции уже имеется, так как при k = 1 справедлива теорема о дифференцируемости по начальным данным и параметрам.

Используем теперь доказываемую теорему в качестве индукцион-

родность @f(x; y(x; x0; y0; ); ) линейных систем в вариациях (3.17)

@ j

и (3.18) как производные сложных функций оказываются функциями k раз непрерывно дифференцируемыми по параметрам x0; y0; ; поскольку таковыми по индукционному предположению является

решение y(x; x0; y0; ) и все функции fy0i; f0 j :

Применяя теперь индукционное предположение непосредственно к линейным системам в вариациях, заключаем, что функции

(j)(x) = @y(x; x0; y0; )=@ j; '(i)(x) = @y(x; x0; y0; )=@yi0; (x) =

@y(x; x0; y0; )=@x0; являющиеся решениями соответствующей системы (3.17) или (3.18), k раз непрерывно дифференцируемы по x0; y0; : А значит, само решение y(x; x0; y0; ) системы (3.15) дифференцируемо по каждой из этих переменных (k + 1) раз.

36

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

30: Аналитичность решений нормальной системы по начальным данным и параметрам.

Рассмотрим, наконец, нормальную систему (3.15) y0 = f(x; y; ) с непрерывной в области F = G M функцией f в предположении, что для всякой точки (x0; y0; 0) 2 F функция f(x; y; ) является вещественно-аналитической функцией переменных y; в некоторой окрестности точки (y0; 0):

Иными словами, в поликруге Kr(y0; 0) = f(y; ) j jjy y0jj < r; jj 0jj < rg радиуса r с центром (y0; 0) вещественная функция f допускает разложение в абсолютно сходящийся степенной ряд:

векторные коэффициенты f(p;q)(x) – это вещественные непрерывные функции в некоторой окрестности точки x0:

Теорема Ляпунова–Пуанкаре (о разложении решения в ряд по степеням начальных данных и параметров). Пусть в системе (3.15) выполнены предположения, сделанные выше для f(x; y; ); и пусть система (3:150) y0 = f(x; y; 0) имеет решение y = '(x; 0); определенное на отрезке [a; b]: Тогда 9 > 0 такое, что решение системы (3.15) y = y(x; x0; y0; ) определено и непрерывно на множестве [a; b] [a; b] K ('(x0); 0) и для любых x; x0 2 [a; b] является вещественно-аналитической функцией переменных y0; в

поликруге K ('(x0); 0) = f(y0; ) j jjy0 '(x0)jj < ; jj 0jj < g;

т. е. y = y(x; x0; y0; ) раскладывается сходящийся степенной ряд:

где коэффициенты y(p;q)(x; x0) непрерывны по x; x0 2 [a; b]:

Доказательство теоремы см., например, в книге Ю. Н. Бибикова "Курс обыкновенных дифференциальных уравнений изд-во "Лань" СПб-Москва-Краснодар, 2011 (Гл. VI, § 2).

37

40: Аналитичность решений нормальной системы по независимой переменной.

получая улучшение свойств решений по начальным данным и параметрам, не затрагивая при этом зависимость f от x:

Здесь этот пробел будет восполнен, причем поскольку зависимость f от параметра непосредственно использоваться не будет, вернемся к рассмотрению исходной системы (3.1) y0 = f(x; y):

Теорема Коши (об аналитичности решения задачи Коши аналитической системы). Пусть в системе (3.1) f(x; y) является ана-

в котором a(0) = y0 и радиус сходимости которого = (x0) вне зависимости от величины r может быть достаточно мал.

Доказательство теоремы см., например, в книге Ю. Н. Бибикова "Курс обыкновенных дифференциальных уравнений изд-во "Лань" СПб-Москва-Краснодар, 2011 (Гл. VI, § 4).

38