Басов3

Лемма (Адамара). Если вектор-функция f(x; y) непрерывна вместе со своей частной производной по y в выпуклой по y области G; то для любых (x; ye); (x; yb) 2 G существуют непрерывные вектор-функции h(1)(x; y;e yb); : : : ; h(m)(x; y;e yb) такие, что

Пусть, по-прежнему, x скалярная переменная, y вектор размерности n; f(x; y) вектор-функция той же размерности, определенная и непрерывная в области G Rn+1:

Df. Функция f(x; y) удовлетворяет условию Липшица глобально по y на множестве D или f(x; y) 2 Lipgly (D); если найдется такая

по y в области G или f(x; y) 2 Liplocy (G); если для любой точки (x0; y0) из G существуют окрестность V (x0; y0); лежащая в G; и константа Липшица L = LV > 0 такие, что для любых двух точек

(x; ye); (x; yb) из V (x0; y0) выполняется неравенство (3:8):

Следует иметь в виду, что условия Липшица призваны заменить дифференцируемость по y функции f; если таковая отсутствует, и означают, что во всей области G или в некой окрестности любой ее точки рост функции f(x; y) по y не более чем линеен.

Лемма (о связи между локальным и глобальным условиями Липшица). Если f(x; y) 2 Liplocy (G); то для любого компакта H из G следует, что f(x; y) 2 Lipgly (H):

Д о к а з а т е л ь с т в о . От противного. Пусть существует замкнутое ограниченное множество (компакт) H 2 G; в котором f(x; y) не удовлетворяет условию Липшица по y глобально.

11

Значит, найдутся последовательность констант Lk ! +1 при

Разряжая при необходимости два раза подряд последовательность индексов k натурального ряда и пользуясь тем, что из каждой

последовательности точек компакта H можно извлечь сходящуюся подпоследовательность, выберем подпоследовательность индек-

сов kl ! 1 при l ! 1; что (xkl; ye(kl)) ! (x0; ye(0)); (xkl; yb(kl)) !

(x0; yb(0)): При этом обе точки (x0; ye(0)); (x0; yb(0)) 2 H; поскольку замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

В результате векторы y (0) и y (0) либо совпадают, либо нет. Предположим сначала, что y (0) 6= y (0): Тогда можно ввести в рас-

e b

В этом случае используем предположение о том, что функция f удовлетворяет локальному условию Липшица.

По определению для точки (x0; y (0)) существуют лежащая в G окрестность V (x0; y (0)) и константа Липшица L > 0 такие, что для

12

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Докажем теперь, что дифференцируемость действительно более сильное свойство, чем липшицевость.

Лемма (о достаточном условии для локальной липшицевости).

Если вектор-функция f(x; y) непрерывна вместе со своей частной производной по y в области G; то она удовлетворяет условию Липшица по y локально в G:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть V окрестность произвольной точки из области G: Очевидно, что ее можно выбрать выпуклой по

y и такой, что V 2 G: Для этого достаточно в качестве V взять куб с центром в выбранной точке и достаточно маленьким ребром.

Покажем, что вектор-функция f(x; y) удовлетворяет условию Липшица по y глобально в окрестности V:

По формуле конечных приращений (3.7) для любых двух точек

V произвольной точки из области G:

13

§3. МЕТОД

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ ПИКАРА

10: Теорема Пикара.

Рассмотрим нормальную систему (3.1) y0 = f(x; y) с f 2 C(G): Наша задача заключается в построении решения задачи Коши системы (3.1) y = y(x) с произвольными начальными данными (x0; y0) из области G Rn+1; определенного на каком-либо отрезке.

Решение будем строить при помощи последовательных приближений Пикара, которые ниже рекуррентно определим по индукции.

Итак, зафиксируем произвольную точку (x0; y0) 2 G: В качестве нулевого приближения возьмем y(0)(x) y0:

Функция y(0)(x); очевидно, определена для всякого x 2 R; но возможно не при всех значениях переменной x точка (x; y(0)(x)) окажется в области G: Однако, существует интервал ( 1; 1) такой,

что x0 2 ( 1; 1) и для всякого x 2 ( 1; 1) точка (x; y(0)(x)) 2 G; а значит, функция f(x; y(0)(x)) определена и непрерывна на ( 1; 1):

Теперь в качестве первого пикаровского приближения возьмем

Z x

y(1)(x) = y0 + f(s; y(0)(s)) ds; и оно определено и непрерывно как

x0

суперпозиция непрерывных функций на интервале ( 1; 1):

Но, опять-таки, возможно не при всех x точка (x; y(1)(x)) попадет в область G: В этом случае ( 1; 1) придется уменьшить.

Существует интервал ( 2; 2) ( 1; 1) такой, что x0 2 ( 2; 2) и для всякого x из ( 2; 2) точка (x; y(1)(x)) 2 G; а значит, функция

f(x; y(1)(x)) определена и непрерывна на ( 2; 2): И так далее.

14

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Предположим, что y(k)(x) определено и непрерывно на некотором интервале ( k; k); содержащем точку x0; и y(k)(x0) = y0: Тогда существует интервал ( k+1; k+1) ( k; k); что x0 2 ( k+1; k+1) и для всякого x 2 ( k+1; k+1) точка (x; y(k)(x)) 2 G:

Для 8 x 2 ( k+1; k+1) введем (k + 1) -е приближение по Пикару:

Оно определено и непрерывно на интервале ( k+1; k+1):

Таким образом, каждое пикаровское приближение определено в некоторой окрестности точки x0 и y(k)(x0) = y0 при любом k 0:

Но последовательность вложенных интервалов ( k; k) при их пересечении может стянуться в точку x0; т. е. общий интервал для всех пикаровских приближений, вообще говоря, может отсутствовать. Кроме того, может оказаться, что вектор-функции y(k)(x) не будут равномерно ограничены сверху по норме. Каждая из этих возможностей, очевидно, помешает получить предельную функцию, которую и хотелось бы видеть решением системы (3.1).

Теорема (Пикара). Пусть в системе (3.1) f(x; y) 2 C(G); f(x; y) 2 Liplocy (G) и пусть для любой точки (x0; y0) из области G

последовательные приближения Пикара y(k)(x) (k = 0; 1; : : :) с начальными данными x0; y0 определены на некотором отрезке [ ; ];

причем существует такой компакт H G; что для любых k 0 и x 2 [ ; ] точка (x; y(k)(x)) 2 H: Тогда функции y(k)(x) равномерно относительно [ ; ] стремятся при k ! 1 к предельной функции y(x); которая является решением задачи Коши системы (3.1) с начальными данными x0; y0 на отрезке [ ; ]:

Д о к а з а т е л ь с т в о . Возьмем произвольную точку (x0; y0) из области G: По условию теоремы для этой точки найдутся отрезок [ ; ]; содержащий x0; и компакт H; содержащийся в G; такие, что можно построить последовательные пикаровские приближения

определенные для всякого x 2 [ ; ]; и такие, что их графики, т. е. точки (x; y(k)(x)); при всех x и k принадлежат компакту H:

15

Наличие компакта позволяет незамедлительно ввести на нем две глобальные константы. Обозначим через L константу Липшица, обслуживающую H: Она существует по лемме о связи между локаль-

ным и глобальным условиями Липшица, согласно которой функция f(x; y) 2 Lipgly (H): Положим также M = max jjf(x; y)jj; так как

на компакте непрерывная функция достигает своего максимума. Нам предстоит установить равномерную сходимость последова-

тельности пикаровских приближений. Для этого существует стандартный прием, основанный на замене последовательности функций соответствующим функциональным рядом. А для рядов имеются простые и эффективные критерии абсолютной сходимости.

Введем новую последовательность функций '(k)(x); заданных на

сходимость последовательности его частичных сумм, равносильна сходимости последовательности пикаровских приближений y(k)(x):

Построим для ряда '(x) мажорантный ряд, оценив по норме сверху при помощи метода математической индукции члены '(k)(x):

16

В. В. Басов Курс лекций по ОДУ

Аналогично предыдущему точки (s; y(1)(s)) и (s; y(0)(s)) принад-

глобальное условие Липшица и индукционное предположение (3.11):

17

X

сходится равномерно на отрезке [ ; ]; а значит, последовательность

[ ; ]

y(k) y(x) при k ! 1:

Для всякого x 2 [ ; ] предельная функция y(x) непрерывна по теореме Стокса-Зайделя и точка (x; y(x)); являясь предельной,

Z x

содержится в H: Следовательно f(s; y(s)) ds существует.

x0

Рассмотрим равенство (3.10), устремив в нем k к бесконечности. По доказанному выше, слева получим функцию y(x):

k ! 1 или что разность интегралов стремится к нулю. Равномерная сходимость последовательности пикаровских при-

ближений y(k)(x) означает, что

8 "0 > 0 9 K > 0 : 8 k > K; 8 x 2 [ ; ] ) jjy(k)(x) y(x)jj < "0;

т. е. K универсальная, не зависящая от x; константа.

Итак, зафиксируем произвольное число " > 0: Теперь выберем "0 = "=(L( )); по нему найдется K из определения равномерной сходимости. Возьмем произвольное числа k > K и x 2 [ ; ]; тогда

L"0jx x0j ";

азначит, в правой части (3.10) тоже можно перейти к пределу.

Zx

Врезультате y(x) = y0+ f(s; y(s)) ds для 8 x 2 [ ; ]; т. е. пре-

x0

дельная функция y(x) удовлетворяет интегральному уравнению, что равносильно тому, что y(x) является решением задачи Коши системы (3.1) с начальными данными x0; y0 на отрезке [ ; ]:

18

По определению для любого вещественного x имеем: y(0)(x) = 1;

равномерно относительно x из любого конечного промежутка при k ! 1 сходится к решению y(x) = ex:

20: Существование и единственность решения системы.

Из теоремы Пикара следует, что для доказательства существования решения системы (3.1), проходящего через точку (x0; y0); остается найти отрезок, на котором будут определены все пикаровские приближения, и компакт, в котором будут лежать все их графики.

Теорема (существования и единственности). Пусть в системе (3.1) f(x; y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y локально в области G; тогда для любой точки (x0; y0) 2 G существует и единственно решение задачи Коши с начальными данными x0; y0; определенное на некотором отрезке Пеано Ph(x0; y0):

19

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование. Возьмем любую точку (x0; y0) из области G и

найдем для нее отрезок [ ; ] и компакт H из теоремы Пикара. Сначала, как обычно, построим отрезок Пеано с центром, распо-

ложенным в точке x0: Для этого возьмем такие числа a; b > 0; что

= x0 + h: Тогда [ ; ] это отрезок Пеано Ph(x0; y0):

Выберем H = f(x; y) : x ; jjy y0jj b g; тогда H R:

Покажем методом математической индукции по k = 0; 1; : : : ; что

Тогда точка (x; y(k)(x)) попадет в компакт H; что позволит опреде-

интеграла jjfjj M и jjy(k+1)(x) y0jj Mjx x0j Mh b:

В результате выполняются условия теоремы Пикара и существо-