Возникновение вихрей из волн
Изучим позже
Волны Россби, 1939
На ежедневных картах барической топографии видно непрерывное сложное движение атмосферы в виде крупномасштабных волн 
примерно одинаковой, но меняющейся, длины.
ПОЧЕМУ ЭТО ТАК? – Ответил на этот вопрос К.Г.Россби
Напоминалка: Динамика атмосферы в квазигеострофическом приближении
ug g H l y
vg g H l x
|
g |
H |
|
g |
H |
|
|
|
|
p |
|
|
T |
|
p |
|
|
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
||||||||||
|
R |
|
p |
|
R |
|
|
|
|
p 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
d l , |
d |
|
dp |
||||
|
|
|||||||
|
l |
dt |
|
dt |
|
p 0 dt |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dv |
|
|
|
1 du |
|
1 l |
1 d |
|||||
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U |
g |
U |
|
|
|
|
|
|
|
v |
g |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
z |
|
|
|
|
|
x l dt |
|
|
y l dt |
|
l |
|
y |
l dt |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w p |
|
g |
|
||
|
w |
||||
|
|
|
|||
p 0 z |
p 0 |
||||
|
|
||||
w |
dl |
|
|
|
|
|
|
|||
w |
|
|
1 d l |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
dt |
|
z |
|
l dt |
|
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
0 |
|
ug |
|
dt |
|
t |
|
x |
vg y
|
|
0 |
|
T |
ug |
T |
vg |
T |
|
|
m2 |
0 |
, |
|
|
RT |
|
|||||
|
|
|
t |
x |
y |
|
|
m2 |
g |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p0 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
T |
|
|
T |
k |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В рамках уравнения, содержащие изменения во времени!
Первый случай: волны Россби по долготе на бездивергентном (среднем) уровне
t
|
|
|
|
|
На уровне максимума вертикальной скорости |
|
|
0, тогда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
w |
|
|
|
1 d l |
d l |
0 |
l |
u |
|
|
l v |
|
l 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
z |
l |
|
|
|
dt |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
x |
|
|
|
g |
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривается движение, не зависящее от y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
v |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
0 u U (t) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 cos |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
f v u f |
v f |
|
y |
, |
|
|
f f |
|
y, |
f |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
R |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае уравнение вихря принимает вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u |
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
v |
|
|
|
|||||||||||||||
g |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x |
|
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
в итоге получим уравнение для меридианальной скорости |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
U |
|
2v |
v 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y 0
|
|
|
|
|
|
2v |
U |
2v |
v 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Будем искать решение этого уравнения в виде волны |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v(t, x) exp(i(kx t)) ei(kx t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
как это понимать? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Справка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
k |
2 |
- волновое число волны с длиной L |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
- частота колебаний волны с периодом T |
|
|
|
|
||||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3,14 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
-1 |
|
|||
Например, волна с длиной 6000 км имеет k |
|
|
|
|
|
|
1 10м |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6000000м |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3,14 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
Если ее период 2 ч=7200с, то частота = |
|
|
|
8 |
10гц |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7200с |
|
|
|
|
|
|
||
Техника получения волновых решений
|
|
|
|
2v |
U |
2v |
v 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
t x |
x2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Будем искать производные от v(t, x) ei(kx t) |
|
|
|
||||||||||
v |
i(kx t) |
|
v |
|
i(kx t) |
|
2v |
|
2v |
2 |
|
|||
|
i e |
i v |
|
ike |
|
|
ik v |
|
k v |
|
k |
v |
||
t |
x |
|
|
t x |
x2 |
|||||||||
Подставим в уравнение и вынесем общий множитель - v k Uk2 |
0 |
|||||||||||||
Ясно, что частное решение вида v(t, x) ei(kx t) будет существовать, только если частота и волновое число связаны условием
k Uk2 0
Оно называется ДИСПЕРСИОННЫМ СООТНОШЕНИЕМ
Фазовая скорость волны Россби
Для понимания смысла дисперсионного соотношения выделим фазу гармоники
|
i(kx t) |
|
|
|
|
|
|
||
v(t, x) Re |
kx |
t |
- фаза косинуса |
||||||
e |
cos(kx t) cos |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
0 |
d |
kx t 0 |
||||
Условие постоянства фазы при перемещении : |
|||||||||
dt |
dt |
||||||||
Отсюда скорость изменения положения фазы определяется равенством
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
k |
или |
|
|
c |
|
|
T |
|
|
|
||||
dt |
dt |
|
k |
|
|
2 |
T |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с - это фазовая скорость волны, длиной L и с периодом T Из дисперсионного соотношения следует, что для волн Россби
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k Uk2 0 |
|
|
|
c U |
|
|
|
|
|
k |
k2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Групповая скорость волн
При сложении колебаний с близкими частотами возникают биения.
Фазовая скорость распространения огибающей (амплитуды) волнового пакета называется групповой скоростью
c |
g |
lim |
|
d |
dck |
c k dc |
|
k 0 |
k |
dk |
dk |
dk |
Поскольку мощность волны (энергия за единицу времени) пропорциональна квадрату ее амплитуды, то скорость распространения амплитуды – 
групповая скорость– это и скорость переноса волной энергии
Групповая скорость волн Россби
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|||
c c k dc |
|
U |
|
k U |
|
|
|
U |
k |
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
g |
dk |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
c |
g U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Групповая скорость волн Россби всегда положительна, т.е. пакет волн и его энергия всегда распространяются на восток
Фазовая скорость очень длинных волн (k=2 /L) может 
быть отрицательной, т.е. они перемещаются на запад, а
короткие волны – на восток 