Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский государственный гидрометеорологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

u_practice

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

584.37 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз,

1959.

2.Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.

–М.: Изд-во МГУ, 2004.

3.Треногин В.А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1982.

4.Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. –М.: Мир, 1966.

5.Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. –М.: Наука, 1971.

6.Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. –М.: Наука, 1966.

7.Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. –М.: Мир,

1964.

8.Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Под ред. Л.В. Овсянникова и В.Н. Монахова. –Новосибирск: Наука, 1985.

9.Курант Р. Уравнения с частными производными. –М.: Мир, 1964.

10.Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. –М.: Мир, 1957.

11.Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. –М.: Наука, 1973.

12.Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа// Успехи матем. наук. – 1962. – Т.17, N3. – C. 3 – 146.

13.Андреев В.К. Избранные вопросы теории уравнений с частными производными. –Красноярск: КГУ, 1980.

14.Белов Ю.Я., Кантор С.А. Метод слабой аппроксимации. –Красно- ярск: КГУ, 1999.

15.Положий Г.Н. Уравнения математической физики. –М.: Высшая школа, 1964.

16.Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. –М.: Мир, 1968.

17.Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. – М.: Наука, 1985.

18.Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. – М.: Наука, 1980.

19.Владимиров В.С. Уравнения математической физики. – М.: Наука,

1988.

20.Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука, 1976.

21.Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. – М.: Наука, 1964.

22.Сборник задач по уравнениям математической физики/ Под ред. В.С.Владимирова. – М.: Наука, 1982.

	ОТВЕТЫ
1.1. uξξ + uηη + uζζ = 0; ξ = x, η = y		−	x, ζ = x	−	21 y +	21 z. 1.2. uξξ		−		uηη
x	x
+uζζ +uη = 0; ξ = 2 , η =	2 + y, ζ = −	x							= 0;
		2 − y + z. 1.3. uξξ −uηη + 2uξ
ξ = x + y, η = y − x, ζ	= y + z. 1.4.uξξ +uηη							y	−		x,
				= 0; ξ		=	3x, η y= z
ζ = 2x −y + z. 1.5. uξξ −uηη −uζζ = 0; ξ = x, η = y −x, ζ =							2 x − 2 +	2 . 1.6.

uξξ+ uηη +uζζ + uττ = 0; ξ = x, η = y − x, ζ = z + x + y, τ = 2x − 2y + z + t. 1.7. uξξ −uηη+ uζζ + uττ = 0; ξ = x + y, η = y − x, ζ = z, τ = y + z + t. 1.8. uξξ −uηη +uζζ −uττ = 0; ξ = x+ y, η = x−y, ζ = −2y + z + t, τ = z −t. 1.9. uξξ −uηη +uζζ = 0; ξ = x, η = y − x, ζ = 2x − y + z, τ = x + z + t. 1.10.uξξ

+uηη = 0; ξ = x, η = y, ζ = −x − y + z, τ = x − y + t. 1.11. uξξ +uηη

= 0; ξ = x, η =

−

x + y, ζ = 2x

−

2y + z. 1.12. u

+ 3u

3 ζζ

ξξ

ηη −

ζζ

+2 uη − 2 uζ = 0; ξ = x, η =

(x + y + z), ζ = −2 (3x + y − z). 1.13. uξξ

−uηη −uζζ + 2uη = 0; ξ = x + y, η = −x + y, ζ = −x − y + z. 1.14. uξξ −uηη + 4u = 0; ξ = y + z, η = −y − 2z, ζ = x − z. 1.15. uξξ + 2u = 0; ξ = x,

= −2

y, ζ

= −

1.16.

ξ + 6

= 0; ξ = x, η =

−

2x + y,

ξξ − 2

ζ = −3x+z. 1.17. uξξ +uηη −uζζ = 0; ξ = x, η = −

2 x−

2 z, ζ =

2 x+2z. 1.18.

uξξ −uηη + uζζ = 0; ξ = x, η = −12 (x−y), ζ = −x−y + z. 1.19. uξξ −uηη = 0;

= x, η

= x + y, ζ = −3x − 2y + z. 1.20. uξξ − uηη

− uζζ − uττ

= 0;

ξ = x + y, η = x − y, ζ = z − x − y,

τ = t − x − y. 2.4. Гиперболический

√

тип при x > 0: ξ = y + 2 x, η = y − 2

x, uξη = 0, параболический тип

при x = 0: uyy − 21 ux = 0, эллиптический тип при x < 0: ξ = y, η =

√

−x

+ u

= 0

тип при x = 0: ξ = xy, η = x, u

= 0,

ξξ

ηη

. 2.5. Гиперболический

ξη

параболический тип при x = 0: uyy + y uy = 0, уравнение вырождается при x = y = 0. 2.6. Гиперболический тип при x 6= 0, y 6= 0: ξ = xy, η = xy , uξη + 21η uξ = 0, параболический тип при x = 0 или y = 0: uyy + y2 uy = 0 или uxx = 0, уравнение вырождается при x = y = 0. 2.7. Гиперболический тип при x 6= 0, y 6= 0: ξ = xy , η = yx3, uξη − 41η uη = 0, параболический тип при x = 0 или y = 0: uyy = 0 или uxx = 0, уравнение вырождается при x = 0

или

= 0. 2.8.

−

, η

x2, x2

y u

−

y u

= 0

. 2.9.

(1 + 2 )ξη + (2

)

η 2

Параболический тип при x 6= 0, y 6= 0: ξ = y2 − x2, η = x, uηη −

2η

uξ = 0,

ξ+η2

уравнение вырождается

при x

= 0, y

= 0. 2.10. ξ =

arctg(y) + x,

η = arctg(y) −ξx, uξη = 0.2.11. Параболический тип всюду: ξ

= y sin x,

η = y, uηη −

η uξ

= 0,

при y

= 0: uxx + tgxux = 0,

при

tgx

= 0:

uyy

= 0. 2.12. Гиперболический тип всюду: ξ = y2 + ex, η = y2 − ex,

−(ξ2 − η2)uξη +

(ξ+3

η)

uξ −

(3ξ+η)

uη = 0.2.13. Эллиптический тип при x 6= 0,

y 6= 0: ξ = x2, η = y2, uξξ +uηη + 21ξ uξ + 21η uη = 0, при x = 0, y = 0 уравнение вырождается. 2.14. Гиперболический тип всюду: ξ = y2 + x2, η = y2 − x2,

2(ξ2 − η2)uξη + ξuξ − ηuη = 0. 2.15. ξ = x + 3y, η = x + y, vξη + 12 vη = 0, u = 1 − e−y. 2.16. ξ = x + y, η = 3x + 2y, vξη = 0, u = 54 x2 + xy. 2.17. ξ = x + y, η = y − 3x, vξη = 0, u = 3x2 + y2. 2.18. ξ = y + 5x, η = y + x,

vξη = 0, u = 52 sin(x+2 y ) − 32 sin(y+56 x). 2.19. ξ = y + 2x, η = y, vηη = 0,

u = x + y. 2.20. ξ = y, η = y + 2x, v

ξη

= eξ, u = (1 + 2x

−

e2x)ey + x2 + xy.

2 3

1 3

2.21. ξ = x− 3 y , η = x+2y, vξη = 0, u = x− 3 y

+y. 2.22. ξ = y −x−sin y

η = y + x

−

y + sin x). 2.23.ξ = x, η = x + e ,

sin x, vξη = 0, u = x + cos(x

vξη = 0, u = −2 x

+ cos(x − 1 + e ) − cos x. 2.24. ξ

= 2x − y + cos x,

y−cos x

) + sin x cos(

y−cos x

). 2.25.

η = 2x + y − cos x, vξη = 0, u = e sh(

ξ = y − sin x + x, η = y − sin x − x, vξη = 0, u = cos(y − x − sin x). 2.26.

ξ = 2x

−

y + cos x, η = 2x + y

−

cos x, 4v

ξη

+ v

= 0, v = f(ξ) + e−ξ/4g(η),

cos x)/4

(2x y

−

cos x + sin(

y−cos x

).2.27. ξ

= y +

, η

= y, vηη = 0,

u = 2e−

−

u = y2

−

.2.28. ξ = x + y, η = y, v

ηη

= eη

, u = (x

−

1)ex+y

+ ey + 1.2.29.

= x3y, η

= y − x2, η

= y − x2 − 2x, vξη = 0, u = 1 + x.2.30. ξ

4ξv

= 0, u = y. 2.31. ξ = y sin x, η = y, v

= 0, u = y(y

−

1) sin x. 2.32.

ξη

−

ηη

−x.

ξ = y−cos x+x, η = y−cos x−x, vξη = 0, u = (y−cos x+x)

−(y−cos2x)

2.33. ξ = y + cos x + 2x, η = y + cos x − 2x, vξη = 0, u =

(y+cos x+2x)

. 2.34.

ξ = lny − ctgx, η = y, vηη + η1 vη

= 0, v = f(ξ)lnη + g(ξ), u = ctgx − lny.

3.1. T u

+ f(x) = 0, 0 < x < l, u

|x=0

= u

|x=l

= 0, где f(x) - плотность

Φ(t)

нагрузки. 3.2. utt = a2uxx, 0 < x < l, t > 0, u(t, 0) = ϕ(t), ux(t, l) =

t > 0, u(0, x) = 0, ut(0, x) = 0, 0 ≤ x ≤ l, a2 = Eρ . 3.3. utt

= a2uxx − 2ν2ut,

0 < x < l

t > 0 u(0, x) = ϕ(x)

(0, x) = ψ(x)

≤

t > 0

u(t, 0) = u(t, l) = 0, t > 0, где 2ν

= k/ρ, k - коэффициент трения. 3.4.

tt =

a2u

xx,

, ..., m

, 0

< x < l

t >

u t,

u t, l

) = 0,

= 1

( m0)i

(

u(t, xi − 0) = u(t, xi + 0), ux(t, xi + 0) − u(t, xi − 0) =

T u2tt(t, xi), t > 0,

i = 1, ..., m, u(0, x) = f(x), ut(0, x) = F (x),

0 ≤ x ≤ l. 3.5.

∂ u

= g

∂

x∂x∂u

∂t2

∂x

< x < l

t >

0, |

0)|

∞,

t, l

t > 0 u(0, x) = f(x)

(

)

f(t,r,ϕ,

)

ut(0, x) = F (x), 0 ≤ x ≤ l. 3.8. utt

+ kut

= a2 u +

≤ r < R,

02≤ ϕ < 2π,

t > 0,

u|t=0 = ut|t=0 = 0, |u(t, 0, ϕ)| < ∞,

u(t, R, ϕ) = 0,

где

= T/ρ, k = α/ρ, α - коэффициент упругого сопротивления среды. 3.9.

теплоемкость, ϕ1(t), ϕ2(t) в случае а) температура концов стержня, в случае в) температура окружающего пространства на концах стержня, qi тепловые потоки на концах стержня. 3.10. ut = a2uxx − cρSαp u,

0 < x < l, t > 0, u(0, x) = f(x), 0

≤

l, u

|x=0

= u

, (ux + hu)

x=l = 0,

t > 0, p периметр поперечного сечения стержня, h =

k , a

= k/(cρ).

3.11. ut = a2uxx + qc δ(x − v0t), −∞ < x < +∞, t > 0,

u(0, x) = ϕ(x),

k/ cρ

). 3.12.

t =

a2u

xx −

−

< x < l

t >

u(0, x) = f(x)

(

0), 0 2

αP

0 ≤ x ≤ l, u|x=0 = u|x=l, ux|x=0 = ux|x=l, a

= k/(cρ), b =

cρS

, где P

периметр поперечного сечения кольца, x = Rθ, θ угловая координата.

3.13. ut = a2(urr + 2r ur) + cρQ , 0 ≤ r < R, t > 0, u(0, r) = f(r), 0 ≤ r ≤ R,

|u(t, 0)| < ∞; граничные условия: a) u(t, R) = 0, б) (ur + Hu)|r=R = 0,

∞

α/k,

a2 =

k/(cρ).

4.1.

sin 2πatl sin 2πxl .

4.2.

l kP

(ak cos akπtl +

2πa

+bk sin

akπt

)× sin

kπx

ak =

ϕ(x) sin

kπx

dx,

ψ(x) sin

kπx

dx.

aπk

5πx

4.3.

aπt

πx

5aπtR

. 4.4.

aπt

πxR

aπ

sin

× sin

+ cos

· sin

aπ

sin

3aπt

3πx

∞

(−1)k

2k+1

cos

3aπ

sin

5aπ

· sin

· cos

4.6.

2 −

cos

+3aπ sin

sin

π2

k=0 (2k+1)2

· cos

aπt

· sin

πx.

4.5.

aπt

πx

3aπt

cos

3πx

5aπt

5πx

∞

(2k+1)

aπt

sin

−

− cos

sin

)

− cos

2l .

+aπ

l .

4.8.

1+(aπ2l )

+aπ

π2 ·

k=0 (2k+1)2

cos

aπt

cos

πx.

4.7.

1+(aπl

(e−t

sin aπt)

πx

aπt

cos πx

∞ (−1)k

kπat

kπx

2bπ

∞ (−1)kk

−

2kl+1 πx·

6−∞ asin 2k+1· πxk=1

a π k=1

∞ sin

16l

k π +l6

4.9.

kπat

kπx

shx

+ 2

P8l

cos

sin

16l

shl

2 2

∞

sin

2kl

πx cos

πt

∞

· cos

sin

l .

4.10.

−

π5

k=0

(2k+1)5

+ π7

k=0

(2k+1)7

− π7

2k+1

. 4.11.

kPx

∞

(−1)k

k=0

(2k+1)7

1 − π

+π t + sin x cos t +π

[(−1) 3t

− 1

∞

(−1)k2l

(2k+1)t

(2k+1)x

kπx

kπt

+ cos kt

−

3 sin kt] sin kx.

4.12.

+ cos

sin 2

−π

(2k+1)2

∞

6(−1)kP

( 1)k

12t

cos

sin

4.13.

k=1

(kπ)2

sin

l .

4.14.

+ 1

+x(t

− t

+ k=1 n(kπ)2

1] sin πkt + −π3k3

· sin πkx.

(πk)2

−

∞ sin(2k

∞

4.15.

−

+1)πx

cos(p(2k + 1)2π2 + 4t).

4.16.

− π−

k=0

π3

k=0

(2k+1)3

∞

2k+1

∞

t kP

2k+1

[cos(2k + 1)t+

2k+1 sin(2k + 1)t

sin(2k + 1)x. 4.17. 8e−t

(2k+1)2 [(−1)k−

∞

4.18.

e−

π(2k+1)

]

sin

t cos

t(1

−

(kπ)3

[2 cos λkt+

kk+1

sin λkt

−2]

sin πkx,

λk

(kπ)2 − 4 .

4.19.

(2 − x)t+

λk

kπλk2

−λk

sin λkt

sin

2 ,

λk

4.20.

+ k=1

πkλk

(t−

− 1.

∞

−

kπ

kπx

kπ

1)P

sin λkt

πkx

∞

k 2

(

k+1

k=1 −

kπx

8lA

λk

sin

λk

2lA

∞

a k

(πk/l)2 − 1.

4.21.

sin 2x cos 2t

(

k3 (1

− cos kt) sin kx;

5.1.

2 2

π2

k=1

− k

sin

exp −

t .

5.2.

π2 ·

∞

·exp h−

(2k+1)

a π

t P

(2k+1)πx

a2π2

k=0 (2k+1)2

4l2

i · cos

. 5.3. U. 5.4. exp h−

4l2

+ a2

πx

(A q)l

4l(A

∞

(2k+1)2a2π2

(2k+1)πx

−

π2−

exp h−

sin

2l .

5.5. qx +

−

k2=0

cos

(2k+1)2

πP

πx

5.6.

k·

2h1 − exp[−(β +

)t]i

· sin

l .

5.7.

·e−

sin a

+ l

β+(aπl

cos

∞

(−1)

a2ωk2t

sin ω

(2k+1)π

k=0 h

2·

ωk

1−a2ωk

−

5.8.kπa π23

∞

(2k+1)

π a t

(2k+1)πx

∞

exp

sin

5.9.

2Aω

1 e−( l

) t

· k=0 (2k+1)

h−

· kπ=1kπ

ξ cos ωξ dξ,

πkal .

∞ (2k+1)"1−e−36(P4

2 )

sin πkxl

eλk

λk

5.10.

k=0

360(k2+k−43 )( π4 + kπ2 )2

∞

2kπ(1

2 cos

kπ)

16(

8+8 cos kπ

cos kπ)

−

4 (8+k π )t

sin

kπ

5.11.

e−

k=01h

8+k2π2

k3π3(8+k2π2)

·x

π2t

kπx

sin

2 .

5.12. t cos x + 8 (e−

− 1) cos 3x. 5.13. xt + sin πxe − − .

5.14.

x + t sin x + 81 (1 − e−8t) sin 3x.

5.15. tx2

+ 41 (e4t

− 1) + t cos 2x.

5.16.

t + 1 + (1

−

e−t)ex sin x + ex−4t sin 2x

. 5.17.

xt2 + et + sin t

cos t + e−3t cos 2x

5.18. x

5−t

+ 2e

+ (2t − sin 2t) cos 3x. 5.19. x + t

− 1) cos x +

3 (1

−

e−3t) cos 3x

. 5.20.

x2t+x+

∞

C2k

−

e−6(2k

−

1)2t) sin(2k

−

1)x

(2k

−2

2k−1

−

k=1

−

u = x2 +xt+4t2 + 1 xt3.

u = sin x.

x+2t)2

. 6.6.

= ( P

6.7.

6.8.

2k+1 − 2k−3

6.9. u = xt+sin(x+t)

−

cht)ex. 6.10. u = 1+t+ 1

−

cos 3t) sin x. 6.11.

u = a21ω2 (1−cos aωt) sin ωx. 6.12. u = ωt −ω12 sin ωt. 6.13. u = x+ty+t2. 6.14. u = xyt(1 + t2) + x2 − y2. 6.15. u = 12 t2(x3 − 3xy2) + ex cos y + tey sin x. 6.16.

+ t2

+ t sin y.

6.17.

u = 2x2

−

y2 + (2x2 + y2)t + 2t2 + 2t3.

6.18.

+ ty

) + t

3 4

+ 2 t (6 + x

+ y

4 t (x + y). 6.19.

= e3x+4y

2526 ch5t −

+ 51 sh5t . 6.20. u

= (x2 − y2)(et − 1 − t). 6.21.

u= yt2 + 13 xt3 + xy2t + x2y. 6.22. u = x2 + y2 − 2z2 + t + t2xyz. 6.23.

u= y2 + tz2 + 8t2 + 83 t3 + 121 t4x2 + 452 t6. 6.24. u = x2y2z2 + tzxy +

3t2(x2 + y2 + z2 + x2y2 + x2z2 + y2z2) + 3t4(3/2 + x2 + y2 + z2) + 9/5t6.

√ √

6.25. u = ex+y cos (z 2) + te3y+4z sin 5x + t3ex 2 sin y cos z. 6.26.

u= x2 +y2 +z2 +3t2 +xyt. 7.4. u = 1+et + 12 t2. 7.5. u = t3 +e−t sin x. 7.6. u =

(1 + t)e−t cos x. 7.7. u = cht sin x. 7.8. u = 1 − cos t + (1 + 4t)−			21 exp	−	x2	.
					1+4t
7.9. u = (1 + t)−2 exp	−1+t	. 7.10. u = x(1 + 4t)−	2 exp	−	1+4t .
1	2x x2+t		3		x2

	1		x			4x2+t
7.11. u = (1 + t)−	2	sin		exp	−		. 7.12. u = et(t − 1) + 3. 7.13.
			1+t			4(1+t)

u = et − 1 + e−2t cos x cos y. 7.14. u = x2 − y2 + sin x sin y(1 − e−2t). 7.15.

	xy		x2+y2	. 7.16. u = sin l1x sin l2yexp(−(l12 + l22)t). 7.17.
u = sin t +		exp	− 1+4t
	(1+4t)3
			2	2	l y	l2	l2 t
u = sin l1x cos l2yexp(−(l1 +2 l2)t)2. 7.18. u = cos l1x cosax2						exp(−( 1 +	2) ).
7.19. u = sin byexp(ax + (a				− b )t), a 6= b; u = sin bye	, a = b. 7.20. u =

1 cos x(e−2t

−

1+2t)+ cosy cos ze−4t

u = et

2. 7.21.

u = 41 sin 2z+

√

cos 2yexp( t

). 7.23. u =

1+t

− −

t, x

max u(t, x) =

8.7. 0 ≤

≤ 4 . 8.9.

(

)

1+sin(x	−	y	−	z)e−9t	. 7.22.
− 2	−		−	2	. 7.22.
e−l1t sin l1x1+e−lmt cos lmxm.
9, min u(t, x)				= 0.	8.11.
QT

|u(t, x)| ≤ max{2, 427l3 }. 8.12. u(t, x) − w(t, x) ≥ 0. 9.2. а) α < m, б) α < 1.

9.9. а) 1/3, б)

, в)π1 +

, г) 0, д) 3/2, е) 1 − 2 ln 2. 10.6. 1. y0

= signx sin x + |x| cos x,

108

2√

y00 = 2

x cos x

x sin x

y0 =

x cos x x sin x

1 +

−x2 + x+12

. 11.14.

−8π

. 2.

sign

−| |

. 11.12. −

e+1 ch

− 2

sign

−| |2

. 11.13.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
19.11.2019353.79 Кб12test_po_GMI.doc
#
01.05.2025124.4 Кб0TGP_.docx
#
01.07.202584.14 Кб0ukr_mova_10_11_12_zapit.docx
#
15.04.2015830.31 Кб857ULTIMATE_DIET_2_0.pdf
#
01.07.2025192.51 Кб0Universe.doc
#
15.04.2015584.37 Кб70u_practice.pdf
#
01.05.20251.3 Mб0variant_matem[1].doc
#
15.04.2015139.75 Кб8vector.pdf
#
24.09.201942.77 Кб2vernye_zadachi.docx
#
01.05.2025131.58 Кб2Voennaya_reforma_1924-1925g.doc
#
01.07.2025191.22 Кб0VOPROSY_DLYa_ZAChETA_PO_UP_ZAOChKA_2_KURS_BAKI....docx