u_practice

Z

(f, g)I = [qfg + p(rf, rg)] dx

Ω

эквивалентны.

10.15. Пусть вещественные функции pij, pij(x) = pji(x), i, j = 1, 2, ..., m

Ω i,j=1

эквивалентное скалярному произведению

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx.

Ω

10.16. Пусть p, q C(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) ≥ q0 > 0. Доказать, что скалярные произведения в H1(Ω)

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx,

Ω

Z

(f, g)I = [qfg + p(rf, rg)] dx

Ω

эквивалентны.

10.17. Пусть p, q C(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) ≥ 0 и q(x) 6≡0 в Ω. Доказать, что скалярные произведения в H1(Ω)

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx,

Ω

Z

(f, g)I = [qfg + p(rf, rg)] dx

Ω

эквивалентны.

10.18. Доказать, что если σ(x) C(∂Ω) и σ(x) > 0, то выражение

Z Z

(f, g)I = (rf, rg) dx + σfg ds

Ω ∂Ω

61

задает скалярное произведение, причем оно будет эквивалентным скалярному произведению

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx.

Ω

10.19. Пусть p, q C(Ω), σ(x) C(∂Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) ≥ 0 в Ω,

σ(x) ≥ 0 на ∂Ω или q(x) 6≡0, или σ(x) 6≡0 . Тогда скалярные произведения в H1(Ω)

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx,

Ω

Z Z

(f, g)I = [qfg + p(rf, rg)] dx + σfg ds

Ω ∂Ω

эквивалентны.

11. Обобщенные решения уравнений эллиптического типа

Пусть Ω Em некоторая ограниченная область с гладкой границей

∂Ω.

В области Ω задано уравнение

Будем считать, что p(x) C1(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) C(Ω), f(x) L2(Ω), σ(x) L2(∂Ω). В случае первой краевой задачи считаем, что ϕ(x) является следом на ∂Ω некоторой функции из H1(Ω).

Определение 11.1. Функция u(x) H1(Ω) называется обобщенным

решением первой краевой задачи (11.1),(11.2), если ее след на ∂Ω равен

◦

ϕ(x) и она удовлетворяет при всех v H1 (Ω) интегральному тождеству

62

Определение 11.2. Функция u(x) H1(Ω) называется обобщенным решением третьей краевой задачи (11.1),(11.3), если при всех v H1(Ω)

Ω∂Ω

Замечание. При σ ≡ 0 задача (11.1),(11.3) является второй краевой

Доказать, что если p(x) C1(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) C(Ω), f(x) L2(Ω), ϕ(x) C(∂Ω), то классическое решение u(x) C2(Ω) C1(Ω) задачи (11.5), (11.6) является е¸ обобщенным решением.

Решение. Так как классическое решение u(x) уравнения (11.5) – функция непрерывная в Ω, е¸ след на границе области Ω совпадает с е¸ значением. Поэтому краевое условие (11.6) будет верно и в смысле следа.

В последнем выражении применим к каждому слагаемому формулу интегрирования по частям (см. задачу 10.10). Получим, что

63

ZZ

−pv∂n∂u ds + p(ru, rv) dx,

∂Ω Ω

◦ 1

так как v H (Ω), то след v|∂Ω = 0 и первый интеграл в этом выражении равен 0.

Здесь cos(n, xi), i = 1, 2, . . . , – направляющие косинусы единичной внеш-

Пример 11.2. Рассмотрим в области Ω задачу (11.5), (11.6). Доказать, что если p(x) C1(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) C(Ω), q(x) > 0,

f(x) L2(Ω), то задача (11.5), (11.6) имеет единственное обобщенное

◦

решение u H1 (Ω).

◦

Решение. Рассмотрим гильбертовое пространство H1 (Ω) со скалярным произведением

Обозначим за k · kI норму, порожденную скалярным произведением (·, ·)I , за k · k норму, порожденную скалярным произведением (·, ·). Данные нормы эквивалентны (см. упражнение 10.14).

64

Для функции f(x) определим функционал

Заданный функционал линеен.

Покажем, что данный функционал ограничен.

R

|F (v)| ≤ |fg| dx ≤ (неравенство Коши – Буняковского)

≤ CkfkL2(Ω)kvkI = CekvkI .

Из последнего неравенства следует, что F ограничен. Тогда согласно тео-

реме Рисса [3] о представлении линейного ограниченного функционала в

◦

гильбертовом пространстве существует единственный элемент u H1 (Ω) такой, что линейный ограниченный функционал F (v) может быть представлен в виде F (v) = (u, v)I . Последнее означает, что функция u(x) удовлетворяет интегральному тождеству

◦

для любой функции v H1 (Ω), т.е. функция u является обобщенным решением задачи (11.5), (11.6).

Пример 11.3. Доказать, что для всех функций v C2[0, 1] верно

65

Рассмотрим функцию F (t) = Φ(v0 + tw), где v0 - функция, на которой функционал Φ(v) принимает минимальное значение, w(x) - произвольная функция из H1(0, 1), t - произвольное вещественное число, тогда очевидно, что F (0) = Φ(v0), а так как Φ(v) ≥ Φ(v0), то F 0(0) = 0. То есть

F 0(t) =

H1(0, 1).

Считая, что v0 C2([0, 1]), проинтегрируем по частям первый интеграл в этой сумме, получим

◦

Рассмотрим w H1 (0, 1). След функции w в граничных точках интервала (0, 1) равен 0 и

66

1

Z

(−v000 + x)w dx = 0,

0

то есть

(−v000 + x, w)L2(0,1) = 0.

◦

Так как H1 (0, 1) всюду плотно в L2(0, 1), то по теореме об ортогональности −v000 + x = 0, и мы имеем следующее равенство:

(v00 (1) + v0(1))w(1) + (−v00 (0) + v0(0))w(0) = 0,

где w(0) и w(1) могут принимать произвольные значения, но тогда v00 (1) + v0(1) = 0, −v00 (0) + v0(0) = 0.

Таким образом, надо найти решение следующей краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

v000 − x = 0,

v00 (1) + v0(1) = 0, −v00 (0) + v0(0) = 0.

Решая ее, получим, что v(x) = 16 x3 + c1x + c2. В силу краевых условий

найдем

v(x) = 16x3 − 29(x + 1).

1

Вычислим значение функционала на функции v(x): R [(12 x2 − 29 )2 + 13 x4 −

0

49 (x2 + x)] dx + (−29 )2 + (16 − 49 )2 = −27041 . Таким образом, мы доказали требуемое неравенство и нашли функцию, для которой верно равенство.

Задачи и упражнения

11.1.Пусть u(x) классическое решение задачи

−u = f,

u|∂Ω = ϕ.

Показать, что если u C1(Ω) и f L2(Ω), то u(x) является обобщенным решением этой задачи.

67

11.2.Пусть u(x) классическое решение задачи

−u = f,

Показать, что u(x) является обобщенным решением этой задачи.

11.3.Если u(x) обобщенное решение задачи

−u = f,

u|∂Ω = ϕ

и u(x) C2(Ω) ∩ C(Ω), то u(x) является классическим решением этой задачи.

11.4.Если u(x) обобщенное решение задачи

−u = f,

и u(x) C2(Ω) ∩ C1(Ω), то u(x) является классическим решением этой задачи.

11.5. Пусть u(x) классическое решение задачи

−div(p(x)ru(x)) + q(x)u = f(x),

u(x)|∂Ω = ϕ(x),

принадлежащее H1(Ω). Показать, что u(x) является обобщенным решением этой задачи.

11.6. Пусть задана функция f(x) L2(Ω). Доказать, что функционал

Z

F (v) = f(x)v(x) dx

Ω

является линейным непрерывным функционалом над H1(Ω) (∂Ω C1). 11.7. Пусть задана функция u(x) H1(Ω). Доказать, что функционал

Z

F (v) = u(s)v(s) ds

∂Ω

является линейным непрерывным функционалом над H1(Ω) (∂Ω C1).

68

11.8. Пусть задана функция u(x) H1(Ω). Доказать, что функционал

является линейным непрерывным функционалом над H1(Ω) (∂Ω C1). 11.9. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи

− u + u = f,

∂u

∂n|∂Ω = 0

в классе функций H1(Ω).

11.10. Пользуясь неравенством Стеклова, доказать существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи

− u = f,

u|∂Ω = 0.

11.11. Рассмотрим при f L2(Ω) функционал

ZZ

E(v) = |rv|2 dx − 2 fv dx

Ω Ω

на множестве функций v H1(Ω), для которых v|∂Ω = ϕ(x), где функция ϕ(x) является следом на ∂Ω некоторой функции из H1(Ω). Показать, что функция u(x), на которой функционал E(v) достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи

− u = f,

u|∂Ω = ϕ.

11.12. Рассмотрим при f L2(Ω), p C(Ω), q C(Ω), p(x) ≥ p0 > 0, q(x) ≥ 0 функционал

Z Z Z

E1(v) = p|rv|2 dx + qv2 dx − 2 fv dx

Ω Ω Ω

на множестве функций v H1(Ω), для которых v|∂Ω = ϕ(x), где функция ϕ(x) является следом на ∂Ω некоторой функции из H1(Ω). Показать,

69

что функция u(x), на которой функционал E1(v) достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи

−div(p(x)ru(x)) + q(x)u = f(x),

u|∂Ω = ϕ.

11.13. Рассмотрим при f L2(Ω), ϕ L2(∂Ω), σ C(∂Ω), σ(x) ≥ 0 на ∂Ω, σ(x) 6≡0, функционал

Z Z Z Z

˜ |r |2 2 − −

E1(v) = v dx + σv dS 2 fv dx 2 ϕv dS

Ω ∂Ω Ω ∂Ω

на множестве функций v H1(Ω). Показать, что функция u(x), на которой

˜

функционал E1(v) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи

π, 0 ≤ x1 ≤ π}.

70