13. Оценка характеристик декодирования по алгоритму Витерби.

Методы оценки – использование аддитивной оценки (границы) теоретический вариант или моделирование на ЭВМ.

При больших отношениях С/Ш (при P10^-3) аддитивная граница – надежная оценка.

Что оценивается? Обычно P_l – вероятность первого ошибочного декодирования и более часто P_b – вероятность ошибки бита.

В общем случае P_l и P_b явно мало для разработки способа защиты информации от ошибок, надо иметь описание потока ошибок на выходе декодера. Это очень сложная задача даже при моделировании, ибо интересующие практику случаи соответствуют достаточно малым значениям P_l и P_b 10^-4- 10^-6.

Для реализации предложен ряд кодов, полученных с помощью ЭВМ:

1. А. Витерби, Дж. Кларк, Дж. Кейн «Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи» М. Радиосвязь, 1987г. Таблицы.

Б1 R=1/3 Б2 R=1/2

Б3 R=2/3 * Б4 R=3/4 * .

* - выколотые коды.

2. Paaske E. Short binary convolutional codes – Оптимальные коды с R=2/3 и R=3/4

Обозначим через P_j вероятность выбрать на выходе канала путь, отличающийся от истинного в j позициях. Для ДСК

Поскольку код линейный, правильный путь модно считать нулевым путем. Возникновение первой ошибки при обработке i-го принятого ребра означает, что в этом месте нулевой путь заменяется некоторым другим, сливающимся с нулевым. Вероятность P_j замены нулевого пути на путь веса j зависит только от веса этого пути. Число таких путей n_j, а полный информационный вес этих путей w_j.

Аддитивная граница для вероятности P_l – первой ошибки на i-м ребре может быть получена суммированием вероятностей ошибки для всех возможных путей, сливающихся с нулевым путем в этом месте.

Аддитивная граница для вероятности P_b может быть получена из (*) умножением каждого члена на информационный вес пути. Однако для кода с R=k₀/n₀ на каждом ребре декодируется k₀ символов. Поэтому для P_b граница имеет следующий вид:

Вычисление P_l и P_b требует знание спектра весов путей на решетке. Для этого используются производящие функции T(D, N). Если удастся, хотя бы приближенно, представить P_j в виде a^j, то можно получить конечную формулу расчета P_l и P_b в замкнутом виде. Например, Витерби показал, что для ДСК

Тогда

Для рассматриваемого кода R=1/2, =m²

Обычно для используемых каналов выполняется условие P_j+1< P_j и при «хорошем» канале P_j+1/P_j 0. Основной вклад в ошибку бита (P_b) вносит первое слагаемое (**) ненулевое. Следовательно, наилучшим является код с максимально возможным свободным расстоянием и максимально малым информационным весом наименьшего расстояния.

Для алгоритма Витерби лучше несистематические коды, так как при заданном =m они позволяют достичь большего свободного расстояния, а в данном алгоритме нет разницы в сложности декодирования систематического или несистематического кода.

Весьма важный момент выбор окна декодирования. Окно зависит от того, как быстро сливаются пути. При малом окне имеется много неслившихся путей малого веса, риск выбрать которые вместо верного пути велик.

Исследование  моделированием при R=1/2, =6, b=30 (ребер). Обычно полагали b5m (ребер, тактов). При R=3/4 и глубине 30 остается много неслившихся путей веса d-1, больше путей и веса d и d+1. При b=40 все пути веса d-1 исчезают, а при d=60 сливаются и пути веса d+1. Отсюда следует, что при R=3/4, b10m. Аналогично, для R=2/3 b8m.

Сложность реализации определяется в основном структурой решетчатой диаграммы. Если скорость кода равна k/n, то число состояний декодера S=2^m, а число ветвей, выходящих из каждого узла (входящих), .

Число сложений при декодировании равно общему числу ветвей на шаге .

Число сравнений на каждом шаге равно _.

Всего на шаге арифметических операций будет .

Число операций на один декодированный символ .