Санкт-Петербургский государственный технический университет

Вечерний электрорадиотехнический факультет

Сверточные коды

Санкт-Петербург

2001

1. Сверточные коды

Общее название кодов – «непрерывные», синоним «древовидные» коды. Здесь нет разбиения информации на блоки, когда передача каждого блока независима от других блоков. Берутся гораздо меньшие порции длины k₀ (называют их кадрами) и превращают в выходные кадры длины n₀ > k₀ . В отличие от блоковых кодов, реакция n₀ на кадр из k₀ символов зависит не только от содержания кадра, но и от содержания предшествующих m кадров. Древовидный код как бы имеет память, которой нет у блоковых кодов. Интерес к непрерывным кодам вызван следующими моментами:

1. проще способ программной реализации на современных микроЭВМ, микрокомпьютерах и ПК.

2. легче достигается возможность извлечения потенциала, имеющегося у кода для исправления ошибок, в частности, для алгоритма минимального правдоподобия имеется более простой вариант – алгоритм Витерби.

3. более удачно обеспечивается сопряжение источника и канала по скорости, меньше задержка.

2. Способы задания кодов, классификация и характеристики кодов.

Сказанное относительно определения непрерывного кода, иллюстрируется рисунком:

Сразу же напрашиваются определения некоторых характеристик кода:

- скорость кода;

- кодовая длина блока сверточного кода; Ряд авторов (Ивадаре) называют ее длиной кодового ограничения.

- информационная длина блока

- длина кодового ограничения

Ясно, что n – это длина последовательности, где сохраняется влияние одного (самого старого) кадра.

Если использовать четыре свойства (конечность/бесконечность длины кодового ограничения, постоянство/непостоянство во времени, линейность и систематичность), то различают решетчатый код, скользящий, блоковый и сверточный код.

Наиболее простой способ понять сущность задания сверточных кодов, которыми мы и будем далее заниматься и прояснить само название «сверточный», это вспомнить определение фильтра с конечным импульсным откликом (КИО-фильтров).

КИО – это схема умножения многочлена (информационного I) и задаваемого кодом (G). Каждый многочлен конечной степени. Набор многочленов максимально возможный равен k₀xn₀.

С каждого входа на каждый выход свой многочлен. Код тогда оказывается заданным матрицей образующих многочленов или схемой КИО-фильтров.

G^(j)_(i), i = 1,2,…, k_0; j = 1,2,…, n_0;

Выходная последовательность линейного фильтра есть свертка входной последовательности и «импульсной характеристики» фильтра. Поэтому код и называется сверточным.

Примеры.

1. 

k₀=1 n₀=2 R=1/2 m=2 n=2

n=6 k=3 (6,3)

несистематический

2. k₀=2 n₀=3 R=2/3 m=2

Обратите внимание, что для блоковых кодов бессмысленно брать g(x)=xⁱ, а для сверточных это возможно и нужно.

Дадим теперь строгое определение характеристик n, k и n.

В примере 2, следовательно n=3 n=9 k=6.

Получим формальный алгоритм кодирования. Входной кадр k₀ символов будем полагать поступающим параллельно (одновременно k₀ бит), получаются на входе k₀ подпоследовательностей информационных символов d_i(x), i=1,.., k₀, или вектор-строка таких многочленов

Аналогично для выходного кодового слова, будет

Если передача по каналу последовательная, коэффициенты многочленов кодового слова перемежаются.

Операция кодирования, следовательно, задается компактно с помощью векторно-матричного произведения:

c(x)=d(x) G(x), т.е

Как и для блоковых кодов можно ввести проверочную матрицу многочленов H(x). Размерности [(n₀-k₀) n₀]. Она должна удовлетворять условию G(x) H^T(x)=0. Матрица H(x) также задает сверточный код.

Далее нам потребуется вектор синдромных многочленов, который дается уравнением

s(x)=V(x) H^T(x) - это r-мерная вектор-строка из многочленов.

Для систематического сверточного кода

G(x) = [I : P(x)], где

I - единичная k₀xk₀ матрица

P(x) - матрица многочленов k₀xr₀

Для систематических сверточных кодов сразу же находится H(x) = [-P^T(x):I], где

I - единичная r₀xr₀ матрица.

Чем лучше систематические сверточные кодеры? Легко на примере «читать», что передается как без помехоустойчивого кода, так и с ним. Но сверточный код систематический и несистематический неэквивалентны, дистанционные свойства могут различаться. Несистематические часто лучше.