8. Проблематика исправления ошибок.

Исправление ошибок сверточных кодов имеет специфику, связанную с памятью. Длина кодового слова бесконечна, решения принимаются на ограниченном отрезке. Есть разница в принятии решения по первому кадру и последующих.

Задачу можно свести к задаче декодирования первого кадра. Если первый кадр декодирован, то известна информация, и можно учесть её влияние на последующие кадры. Аналогично, если декодирован j кадр, проблема декидирования (j+1) кадра аналогична декодированию первого. Эта процедура декодирования называется процедурой с обратной связью.

Но рано или поздно кадр будет декодирован неверно. В одних декодерах это может привести к ошибочному декодированию последующих кадров, хотя ошибок в них нет. Говорят, происходит распространение ошибок. Оно может быть катастрофическим или ограниченным. Связано это как с самим кодом, так и с алгоритмом декодирования. Ограничение распространения ошибок имеется почти всегда, даже у некатастрофического кода.

Код называется некатастрофическим, если:

Можно полагать равным 1.

Для кода Кохно, где K₀ > 1

где определитель, соответствующий подматрицам изG(x).

Систематические коды всегда некатастрофические. Желая как можно больше исправить, надо брать больше окно декодирования, но начиная с какого-то окна (b) будет насыщение. Окно (b) должно равным или большим n, часто значительно. Чтобы судить об исправляющих возможностях кода, надо ввести ряд характеристик.

1. l-м минимальным расстоянием d_l называют наименьшее расстояние X всех пар кодовых слов, различающихся первым кадром, на отрезке в l кадров.

2. при l = m+1 эту характеристику называют просто минимальным расстоянием кода d^*.

Последовательность d₁, d₂, …, d_l, …, d_m+1, d_m+2, … - дистанционный профиль сверточного кода.

Если в первых кадрах произошло не более t ошибок и 2t +1d_l^*, то ошибки в первом кадре могут быть исправлены. Особый интерес представляет l=n.

2t + 1 d^*.

Свободным расстоянием сверточного кода называют наименьший вес кодового слова, начинающегося с нулевого состояния и вновь в него входящего после ненулевого первого кадра. d_ значение l=n_, при котором это происходит называют свободной длиной.

n_  n

Для расчета вероятности ошибочного декодирования надо знать - производящая функция весов кодовых слов.

n_j – число кодовых слов веса j.

- производящая функция информационных весов кодовых слов.

N – число единиц на ребрах.

w_j – полный информационный вес всех путей веса j.

9. Алгоритм декодирования сверточных кодов.

Известны три основных метода декодирования: синдромный (пороговый), связан с именем Месси; по максимуму правдоподобия – Витерби; и последовательный (Возенкрафт).

Метод порогового декодирования использует синдромы или их линейные комбинации, которые подаются на вход пороговых элементов. Символ с выхода, порогового элемента используется для исправления ошибки. Чисто «пороговый» метод предполагает, что используемый код обладает свойством «разделимости» проверок.

10. Синдромное декодирование сверточных кодов.

«Синдром» сверточного кода подобен синдрому блокового кода:

, но длина синдромной последовательности полубесконечна.

Обычно окно декодирования берут равным (m+1). Идея старая S  взаимосвязаны. Исправив ошибку в «первом» кадре, надо учесть её влияние на последующие кадры. Возможны два варианта:

• после исправления ошибки регист синдрома обнуляется,

• из регистра синдрома вычитается корректирующий синдром.

Рассмотрим конкретный пример.

Замечание. Если код систематический, то предельно ясно, как компоненты синдрома вычисляются. Берутся информационные биты, кодируются и сравнивается проверочный символ с проверочным из канала. Если код несистематический, то либо как указано в *), либо как-то иначе.

Общий вариант:

Код Вайнера-Эша (12, 9)

Усеченная матрица

1. После исправления ошибки синдромный регистр установить в 0.

2. Из регистра синдрома вычитается корректирующий синдром.

Синдром	Конфигурация ошибок
	3-й кадр	2-й кадр	1-й кадр
111	0000	0000	0001
011			0010
101			0100
001			1000
110		0001
110		0010
010		0100
010		1000
100	0001
100	0010
100	0100
100	1000

Пример 2. (6, 3) код

Конфигурация ошибок	Синдром
…000001	…00111
…000010	…00101
…000011	…00010
…000101	…01001
…001001	…01101
…010001	…11011
…100001	…10011
…000110	…01011
…001010	…01111
…010010	…11001
…100010	…10001

Оценка границы: b=m(2m+1) при R=1/2 некатастрофический с обратной связью.

(6, 3) код исправляет 2 ошибки в шести битах. Обратная связь ликвидирует последствия, связанные с исправленными ошибками. Так как код несистематический, то информационные символы восстанавливаются по исправленному слову на основе алгоритма Евклида:

где d(x) – информационная последовательность,

c(х) – кодовая последовательность,

a(x) – существуют и их заранее надо найти.

В рассматриваемом примере a₁(x)=x, a₂(x)=x+1.

1. 

- существуют a₁, a₂, a₃.

2. если с_j находится по правилу

3. то