Ансамблевый фильтр Калмана
Из-за сложности процедуры использования фильтра Калмана в многомерных, нелинейных системах используются его упрощения.
а) Комбинация 4-мерного вариационного метода и фильтра Калмана. Если в качестве окна ассимиляции брать модельный шаг, то 4-Д Вар метод позволяет эффективно вычислять ковариационную матрицу ошибок анализа, избегая большого числа вычислений при оценке ее обычным способом. Затем можно использовать фильтр Калмана для прогноза ковариационной матрицы ошибок прогноза в следующий момент времени.
б) Ансамблевый фильтр Калмана.
Используется ансамбль анализов вектора состояния среды
,
по которым на каждом временном шаге, с помощью оператора моделирования рассчитывается ансамбль первых приближений:
Используя полученный ансамбль первых приближений можно оценить среднее значение вектора состояния
И ковариационную матрицу ошибок первого приближения
Для построения ансамбля анализов используется ковариационная матрица ошибок анализа
Для упрощения процедуры часто используется локализация, когда рассматриваются ковариации только между компонентами вектора состояния, расположенными на ограниченном расстоянии от узла анализа.
Кроме
того, часто помимо ансамбля анализа
используются также и возмущенные
наблюдения, когда формируются
наборов
наблюдений, сгенерированных согласно
матрице ошибок наблюдений
.
Простой пример фильтра Калмана
Основные мысли предыдущего раздела поможет прояснить следующий простой пример. Рассмотрим задачу вывода реальной температуры воздуха номиналом 20 градусов из повторных измерений термометром и их обработки фильтром Калмэна. В первую очередь необходимо установить модели, связывающие состояния нашей системы с измерениями и между собой, а также их статистические характеристики, служащие для вычисления весов. В данном случае имеет место всего одна величина, характеризующая неизменное состояние системы, — неизвестная температура x. Таким образом, модель, описывающая состояние системы, выглядит как
Т.е. температура не меняется от времени к времени. Предположим, что распределение температуры характеризуется нормальным распределением с дисперсией 4 градуса в квадрате (среднеквадратическое отклонение 2 градуса). Это можно принять как ошибку прогноза неменяющейся температуры, т.е.
Измерения температуры термометром дают истинные значения температуры, отягощенные инструментальными ошибками
Если, в соответствии с документами прибора дисперсия составляет 1 градус в квадрате, то
тогда вес измерения составит
Результат анализа, т.е. исправленное значение будет
Таким
образом, чем больше вес измерения
,
тем больше его вклад в результат нулевого
анализа.
Ошибка анлиза будет характеризоваться его дисперсией
т.е. дисперсия прогноза за счет хорошего измерения существенно уменьшилась.
Это была аналитическая часть, далее идет прогностическая часть
т.к. модель в данном случае являетя безошибочной.
Теперь опять часть анализа
таким образом ошибка анализа еще больше уменьшилась.
Аналогичная последовательность операций продолжается и далее.
Рисунок показывает, как результат анализа сходится к истинному значению температуры в данной точке.
