Использование фильтра Калмана для ассимиляции гидрометеорологических данных Задача ассимиляции как проблема фильтрации

В рассмотренных до сих пор методах ковариационные матрицы фоновых оценок (моделирования или прогноза) оценивались в начале однократно и затем использовались для всего последующего процесса ассимиляции. Однако практика показывает, что ошибка прогноза (моделирования) может меняться от дня ко дню. Таким образом, на повестку дня встает вопрос об учете временной эволюции ковариационной матрицы ошибок фоновых оценок (прогноза). Эволюция во времени фоновых ошибок может быть важной по трём причинам.

• Во-первых, мы можем отличить области, где в предыдущем анализе фоновые ошибки были уменьшены при помощи наблюдений.

• Во вторых, мы можем отличить области, где фоновые ошибки росли из-за модельных ошибок.

• В третьих, модельные физика и динамика могут и усилить и уменьшить фоновые ошибки.

Фильтр Калмана является таким методом, который позволяет на основе анализа, сходного с оптимальной интерполяцией, учесть изменчивость ковариационной матрицы прогноза состояния среды.

Проблема ассимиляции гидрометеорологических данных может рассматриваться как решение задачи фильтрации, где ошибки измерений и моделирования выступают в виде шума на фоне истинных значений, который необходимо отфильтровать, чтобы выделить сигнал. Одним из наиболее эффективных методов решения подобной задачи является фильтр Калмана.

Фильтр Калмана представляет собой рекурсивный фильтр, который позволяет оценить состояние динамической системы на основе неполных и шумящих измерений. Для оценивания состояния среды только на основе шумных (т.е. имеющих ошибки) измерений необходимо иметь модель эволюции среды. Рекурсивность фильтра Калмана означает, что для оценки состояния среды достаточно иметь предыдущую оценку и текущие измерения, отягощенные шумом. Другую информацию о предыдущих шагах хранить не надо.

Атмосфера является системой, состояние которой характеризуется определенным набором характеристик, которые являются элементами вектора состояния системы , отнесенного к заданному моменту времени. Кроме того, имеется ряд переменных, некоторым образом связанных с вектором состояния системы, которые можно измерить с определенной точностью и которые относятся к определенному моменту времени. Эти величины составляют вектор измерений. Задача формулируется как построение оптимальной оценки вектора состояния системы, основываясь на векторе измерений с погрешностями. При этом вектор измерений рассматривается как входной сигнал, отягощенный погрешностями (шумом), а вектор состояния - как неизвестный многомерный сигнал, подлежащий оценке. Задача решается как отфильтровывание шума (погрешностей).

Условием оптимальности построенной оценки состояния является минимум ее среднеквадратической ошибки. Рисунок иллюстрирует работу алгоритма фильтра Калмэна. Начальными условиями на каждом новом цикле алгоритма служат оценка состояния системы и величина, характеризующая ее погрешность. В случае скалярной переменной такой характеристикой является дисперсия, которая тем больше, чем сильнее разброс индивидуальных значений относительно истинного значения. Распространенная оценка дисперсии — среднеквадратическое отклонение, то есть квадрат стандартного отклонения, — выражает степень разброса величины относительно среднего. Обобщением дисперсии для вектора, то есть совокупности скалярных величин, служит ковариационная матрица. Ее диагональные элементы являются дисперсиями соответствующих составляющих вектора, а недиагональные — ковариациями, характеризующими взаимосвязь между парой составляющих. Совокупность измерений, отнесенных к каждому из моментов времени, обобщает вектор измерений. Алгоритм последовательно обрабатывает вновь поступающие векторы измерений, учитывая при этом значения, вычисленные на предшествующем цикле. Эта особенность отличает алгоритм фильтра Калмана от нерекуррентных алгоритмов, которым для работы требуется хранить весь массив обрабатываемых данных. На следующем шаге с помощью обрабатываемых на данном цикле измерений уточняются начальные условия.

Для этого алгоритм вычисляет вес поправок к ним на основе ковариационных матриц оценки состояния и измерений. Чем меньшей погрешностью характеризуются измерения по сравнению с оценкой состояния системы, тем больший вес они получат. Относительные веса неизвестных, определяющих вектор состояния системы, зависят от степени их влияния на вектор измерений: больший вес получат те переменные, вклад которых в измерения больше.

Фильтр Калмана является примером последовательного метода ассимиляции распределенных во времени данных измерений, что означает корректировку начальных данных для моделирования на каждом шаге модели в отличии от 4-мерного вариационного анализа который рассматривает все данные измерений внутри определенного окна ассимиляции.